Eksponentinė funkcija

Apibrėžimas

Eksponentinė funkcija – tai funkcija pavidalo:

$y = a^x$

kur a > 0, a ≠ 1 – pagrindas, x – kintamasis (laipsnis).

Pavyzdžiai: y = 2ˣ, y = (1/3)ˣ, y = 10ˣ, y = (0,5)ˣ

Savybės

Apibrėžimo sritis ir reikšmių sritis

Apibrėžimo sritis: D(f) = ℝ (visi realieji skaičiai)
Reikšmių sritis: E(f) = (0; +∞) (tik teigiamos reikšmės)
Funkcija niekada nepasiekia nulio ar neigiamų reikšmių
Grafikas visada yra aukščiau x ašies

Kai a > 1 (pvz. y = 2ˣ)

Funkcija didėjanti (kuo didesnis x, tuo didesnė y)
x → -∞: y → 0 (artėja prie x ašies, bet nepasiekia)
x → +∞: y → +∞
Grafikas kerta y ašį ties y = 1 (nes a⁰ = 1)

Kai 0 < a < 1 (pvz. y = (1/2)ˣ)

Funkcija mažėjanti (kuo didesnis x, tuo mažesnė y)
x → -∞: y → +∞
x → +∞: y → 0
Grafikas kerta y ašį ties y = 1

Bendros savybės (abi formos)

a⁰ = 1, todėl taškas (0; 1) visada ant grafiko
a¹ = a, todėl taškas (1; a) visada ant grafiko
Funkcija niekada nekeičia ženklo – visada teigiama

Grafikų palyginimas

Savybė	a > 1	0 < a < 1
Kryptis	Didėjanti	Mažėjanti
Kai x → +∞	y → +∞	y → 0
Kai x → -∞	y → 0	y → +∞
Grafikas	Kyla dešinėn	Krenta dešinėn

Pastaba: y = (1/a)ˣ = a⁻ˣ yra y = aˣ atspindys y ašies atžvilgiu.

Natūralusis skaičius e

Eulerinis skaičius e – tai skaičius toks, kad y = eˣ funkcija savo išvestine lygi pačiai funkcijai.

$e = \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2{,}71828...$

e yra iracionalus skaičius (negalima išreikšti paprastąja trupmena).

Funkcija y = eˣ

Yra natūraliojo pagrindo eksponentinė funkcija
Plačiausiai naudojama fizikoje, biologijoje, ekonomikoje
Yra pati save integruojanti funkcija (svarbu aukštesnei matematikai)
Savybės tokios pačios kaip y = aˣ, kai a > 1

Eksponentinių lygčių sprendimas

Kai pagrindai vienodi

aˢ = aᵗ ↔ s = t

Pavyzdys: 3^(2x-1) = 3⁵ → 2x - 1 = 5 → x = 3

Kai pagrindus galima sulyginti

Pavyzdys: 4ˣ = 8^(x-1)

4ˣ = (2²)ˣ = 2^(2x) 8^(x-1) = (2³)^(x-1) = 2^(3x-3)

2^(2x) = 2^(3x-3) → 2x = 3x - 3 → x = 3

Logaritmavimas

Pavyzdys: 2ˣ = 7

Logaritmuojame: x = log₂ 7 = ln 7/ln 2 ≈ 2,807

Keitimas kintamuoju

Pavyzdys: 9ˣ - 10·3ˣ + 9 = 0

Tegul t = 3ˣ > 0. Tada 9ˣ = (3²)ˣ = (3ˣ)² = t².

t² - 10t + 9 = 0 → (t-1)(t-9) = 0

t = 1 arba t = 9

3ˣ = 1 = 3⁰ → x = 0

3ˣ = 9 = 3² → x = 2

Taikymas realiame gyvenime

Populiacijos augimas

$P(t) = P_0 \cdot e^{kt}$

kur P₀ – pradinė populiacija, k – augimo tempas, t – laikas.

Pavyzdys: Bakterijų kolonija pradinė 1000. Augimo tempas k = 0,2 per valandą. Kiek bus po 5 valandų?

P(5) = 1000·e^(0,2·5) = 1000·e¹ ≈ 2718

Radioaktyvus skilimas

$N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t} = N_0 \cdot (1/2)^{t/T}$

kur T – pusėjimo trukmė, λ – skilimo konstanta.

Investicijų augimas

K(t) = K₀·e^ (nepertraukiamas kaupimas)

Pavyzdys: 1000 € su 5% metinėmis palūkanomis (nepertraukiamas). Po 10 metų:

K(10) = 1000·e^(0,05·10) = 1000·e^0,5 ≈ 1000·1,6487 ≈ 1648,70 €

Savarankiško darbo užduotys

Apskaičiuokite: 2³, 2⁻², (1/2)⁴, 3⁰, (1/3)⁻²
Nurodykite y = 5ˣ savybes: apibrėžimo sritį, reikšmių sritį, didėjimą/mažėjimą.
Išspręskite: 2^(3x+1) = 32
Išspręskite: 5^(x²-1) = 25^x
Išspręskite: 4ˣ - 5·2ˣ + 4 = 0
Palyginkite 2^50 ir 3^33 be skaičiuotuvo (paaiškinkite loginį pagrindimą).
Apskaičiuokite e⁰, e¹, e⁻¹ apytiksliai (naudokite e ≈ 2,718).
Grafiškai nustatykite, kurioje x reikšmėje 2ˣ = x + 3.
Bakterijų kiekis padvigubėja kas 3 valandas. Pradedam su 100. Kiek bus po 12 valandų?
Išspręskite: 3^(2x) - 12·3ˣ + 27 = 0