Logaritminė funkcija

Logaritminė funkcija

Logaritmo apibrėžimas

Logaritmas – tai laipsnio rodiklis, kurį reikia pritaikyti pagrindui a, kad gautume skaičių b.

$\log_a b = c \quad \Longleftrightarrow \quad a^c = b$

kur a > 0, a ≠ 1 (pagrindas) ir b > 0 (logaritmuojamasis skaičius).

Pavyzdys 1: $\log_2 8 = 3$, nes $2^3 = 8$.

Pavyzdys 2: $\log_3 \frac{1}{9} = -2$, nes $3^{-2} = \frac{1}{9}$.

Pavyzdys 3: $\log_5 1 = 0$, nes $5^0 = 1$.

Pavyzdys 4: $\log_{10} 1000 = 3$, nes $10^3 = 1000$.

Specialūs logaritmai

---

Pagrindinės logaritmų savybės

Tegul $a > 0$, $a \neq 1$, $x > 0$, $y > 0$.

$\log_a 1 = 0 \quad \text{(nes } a^0 = 1\text{)}$

$\log_a a = 1 \quad \text{(nes } a^1 = a\text{)}$

$a^{\log_a x} = x$

$\log_a a^n = n$

---

Logaritmų taisyklės

Sandaugos logaritmas

$\log_a(x \cdot y) = \log_a x + \log_a y$

Pavyzdys 5: $\log_2(8 \cdot 4) = \log_2 8 + \log_2 4 = 3 + 2 = 5$

Dalmens logaritmas

$\log_a\frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$

Pavyzdys 6: $\log_3\frac{81}{3} = \log_3 81 - \log_3 3 = 4 - 1 = 3$

Laipsnio logaritmas

$\log_a x^n = n \cdot \log_a x$

Pavyzdys 7: $\log_2 4^5 = 5 \cdot \log_2 4 = 5 \cdot 2 = 10$

Pagrindo keitimo formulė

$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} = \frac{\ln b}{\ln a}$

Pavyzdys 8: $\log_2 7 = \frac{\ln 7}{\ln 2} \approx \frac{1{,}946}{0{,}693} \approx 2{,}807$

Naudinga tapatybė

$\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$

---

Logaritminės funkcijos grafikas ir savybės

Logaritminė funkcija – tai funkcija:

$y = \log_a x$

Svarbu:

• Grafikas visada kerta x ašį taške (1; 0), nes $\log_a 1 = 0$.
• Grafikas visada kerta tašką (a; 1), nes $\log_a a = 1$.
• Funkcija apibrėžta tik kai x > 0 – nėra logaritmo iš neigiamo skaičiaus ar nulio.

---

Ryšys su eksponentine funkcija

Logaritminė funkcija $y = \log_a x$ yra atvirkštinė eksponentinei funkcijai $y = a^x$.

$y = a^x \quad \Longleftrightarrow \quad x = \log_a y$

Grafikai yra simetriški tiesės $y = x$ atžvilgiu.

Pavyzdys 9: Funkcija $y = 2^x$ ir $y = \log_2 x$ yra atvirkštinės. Jei taškas $(3; 8)$ priklauso $y = 2^x$ grafikui, tai taškas $(8; 3)$ priklauso $y = \log_2 x$ grafikui.

---

Logaritminių lygčių sprendimas

Tiesioginė logaritmo apibrėžtis

Iš $\log_a f(x) = b$ gauname $f(x) = a^b$, jei $f(x) > 0$.

Pavyzdys 10: $\log_3(2x + 1) = 2$

$2x + 1 = 3^2 = 9$

$2x = 8$

$x = 4$

Patikra: $\log_3(2 \cdot 4 + 1) = \log_3 9 = 2$ ✓

Logaritmų sulyginimas

Jei $\log_a f(x) = \log_a g(x)$, tai $f(x) = g(x)$ (kai abu argumentai teigiami).

Pavyzdys 11: $\log_2(x + 3) = \log_2(5x - 1)$

$x + 3 = 5x - 1$

$4 = 4x$

$x = 1$

Patikra: $\log_2(1 + 3) = \log_2 4 = 2$ ir $\log_2(5 \cdot 1 - 1) = \log_2 4 = 2$ ✓

Naudojant logaritmų taisykles

Pavyzdys 12: $\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3$

$\log_2[x(x-2)] = 3$

$x(x-2) = 2^3 = 8$

$x^2 - 2x - 8 = 0$

$(x-4)(x+2) = 0$

$x = 4$ arba $x = -2$

Patikra: $x = -2$ netinka (logaritmo argumentas turi būti teigiamas), todėl $x = 4$.

$\log_2 4 + \log_2 2 = 2 + 1 = 3$ ✓

---

Savarankiško darbo užduotys

1. Apskaičiuokite: $\log_2 32$, $\log_3 81$, $\log_5 \frac{1}{25}$, $\log_4 2$, $\ln e^3$.

2. Suprastinkite reiškinį: $\log_3 12 + \log_3 \frac{3}{4}$.

3. Apskaičiuokite: $\log_2 6 - \log_2 3 + \log_2 8$.

4. Naudodami pagrindo keitimo formulę, apskaičiuokite $\log_4 32$.

5. Nurodykite funkcijos $y = \log_3 x$ apibrėžimo sritį, reikšmių sritį ir monotoniškumą. Kokiame taške grafikas kerta x ašį?

6. Išspręskite lygtį: $\log_5(3x - 4) = 2$.

7. Išspręskite lygtį: $\log_2(x + 1) + \log_2(x - 1) = 3$.

8. Išspręskite lygtį: $\lg(x^2 - 3x) = \lg 4$.

9. Suprastinkite: $2\log_3 5 - \log_3 75 + \log_3 3$.

10. Išspręskite lygtį: $\log_3(x + 6) - \log_3(x - 2) = 2$.