Funkcijų transformacijos

Funkcijų transformacijos

Įvadas

Žinodami bazinės funkcijos $y = f(x)$ grafiką, galime nubraižyti daugybę kitų funkcijų grafikus, taikydami transformacijas: postūmius, atspindžius ir mastelio keitimus. Tai leidžia greitai suprasti naujų funkcijų elgesį.

---

Vertikalusis postūmis: $y = f(x) + c$

Funkcijos grafikas stumiamas aukštyn arba žemyn.

$y = f(x) + c$

• $c > 0$ – grafikas pasislenka aukštyn per $c$ vienetų
• $c < 0$ – grafikas pasislenka žemyn per $|c|$ vienetų

Pavyzdys 1: Bazinė funkcija $y = x^2$.

• $y = x^2 + 3$ – parabolė pasislinkusi 3 vienetais aukštyn, viršūnė taške $(0; 3)$.
• $y = x^2 - 2$ – parabolė pasislinkusi 2 vienetais žemyn, viršūnė taške $(0; -2)$.

Taisyklė: Keičiasi tik y koordinatės – kiekvienas grafiko taškas $(x; y)$ tampa $(x; y + c)$.

---

Horizontalusis postūmis: $y = f(x - a)$

Funkcijos grafikas stumiamas į kairę arba dešinę.

$y = f(x - a)$

• $a > 0$ – grafikas pasislenka į dešinę per $a$ vienetų
• $a < 0$ – grafikas pasislenka į kairę per $|a|$ vienetų

Pavyzdys 2: Bazinė funkcija $y = \sqrt{x}$.

• $y = \sqrt{x - 4}$ – grafikas pasislenka 4 vienetais į dešinę. Pradžios taškas: $(4; 0)$.
• $y = \sqrt{x + 2}$ – grafikas pasislenka 2 vienetais į kairę. Pradžios taškas: $(-2; 0)$.

Dėmesio! Ženklas yra priešingas nei gali atrodyti intuityviai: $f(x - 3)$ stumia į dešinę, o $f(x + 3)$ stumia į kairę.

Taisyklė: Keičiasi tik x koordinatės – kiekvienas taškas $(x; y)$ tampa $(x + a; y)$.

---

Vertikalusis mastelio keitimas: $y = k \cdot f(x)$

Funkcijos grafikas tempiamas arba suspaudžiamas vertikaliai.

$y = k \cdot f(x), \quad k > 0$

• $k > 1$ – grafikas ištemptas vertikaliai (aukštesnis)
• $0 < k < 1$ – grafikas suspaustas vertikaliai (žemesnis)

Pavyzdys 3: Bazinė funkcija $y = x^2$.

• $y = 3x^2$ – parabolė siauresnė (ištemptas vertikaliai 3 kartus). Pvz., kai $x = 1$: $y = 3$ vietoj $y = 1$.
• $y = \frac{1}{2}x^2$ – parabolė platesnė (suspaustas vertikaliai 2 kartus). Pvz., kai $x = 2$: $y = 2$ vietoj $y = 4$.

Taisyklė: Kiekvienas taškas $(x; y)$ tampa $(x; k \cdot y)$.

---

Horizontalusis mastelio keitimas: $y = f(kx)$

Funkcijos grafikas tempiamas arba suspaudžiamas horizontaliai.

$y = f(kx), \quad k > 0$

• $k > 1$ – grafikas suspaustas horizontaliai (siauriau)
• $0 < k < 1$ – grafikas ištemptas horizontaliai (plačiau)

Pavyzdys 4: Bazinė funkcija $y = \sin x$.

• $y = \sin(2x)$ – sinusoidė suspaudžiama horizontaliai 2 kartus, periodas tampa $\pi$ (vietoj $2\pi$).
• $y = \sin\left(\frac{x}{3}\right)$ – sinusoidė ištempiama horizontaliai 3 kartus, periodas tampa $6\pi$.

Taisyklė: Kiekvienas taškas $(x; y)$ tampa $\left(\frac{x}{k}; y\right)$.

---

Atspindys x ašies atžvilgiu: $y = -f(x)$

Grafikas apverčiamas per x ašį – visos y reikšmės keičia ženklą.

$y = -f(x)$

Pavyzdys 5: Bazinė funkcija $y = x^2$.

$y = -x^2$ – parabolė atsiveria žemyn, viršūnė lieka $(0; 0)$.

Taškas $(2; 4)$ tampa $(2; -4)$.

Taisyklė: Kiekvienas taškas $(x; y)$ tampa $(x; -y)$.

---

Atspindys y ašies atžvilgiu: $y = f(-x)$

Grafikas apverčiamas per y ašį – visos x reikšmės keičia ženklą.

$y = f(-x)$

Pavyzdys 6: Bazinė funkcija $y = \sqrt{x}$ (apibrėžta kai $x \geq 0$).

$y = \sqrt{-x}$ – grafikas atspindimas per y ašį, dabar apibrėžtas kai $x \leq 0$.

Taškas $(4; 2)$ tampa $(-4; 2)$.

Taisyklė: Kiekvienas taškas $(x; y)$ tampa $(-x; y)$.

---

Transformacijų derinimas

Kai funkcijoje yra kelios transformacijos, svarbu jas taikyti tinkama tvarka.

Tvarkos taisyklė

Rekomenduojama tvarka (nuo vidinių prie išorinių):

1. Horizontalusis mastelio keitimas ($kx$)
2. Horizontalusis postūmis ($x - a$)
3. Atspindys per y ašį ($-x$)
4. Vertikalusis mastelio keitimas ($k \cdot f$)
5. Atspindys per x ašį ($-f$)
6. Vertikalusis postūmis ($+c$)

Pavyzdys 7: Nubraižykite $y = -2(x - 1)^2 + 3$ pradedant nuo $y = x^2$.

1. $y = x^2$ – bazinė parabolė
2. $y = (x - 1)^2$ – postūmis 1 vienetu į dešinę
3. $y = 2(x - 1)^2$ – vertikalus ištempimas 2 kartus
4. $y = -2(x - 1)^2$ – atspindys per x ašį (parabolė žemyn)
5. $y = -2(x - 1)^2 + 3$ – postūmis 3 vienetais aukštyn

Rezultatas: parabolė su viršūne taške $(1; 3)$, atsiverianti žemyn, siauresnė nei standartinė.

Pavyzdys 8: Nubraižykite $y = \sqrt{-(x + 2)} - 1$ pradedant nuo $y = \sqrt{x}$.

1. $y = \sqrt{x}$ – bazinė funkcija
2. $y = \sqrt{x + 2}$ – postūmis 2 vienetais į kairę
3. $y = \sqrt{-(x + 2)}$ – atspindys per tiesę $x = -2$ (pradžios taškas $(-2; 0)$)
4. $y = \sqrt{-(x + 2)} - 1$ – postūmis 1 vienetu žemyn

---

Transformacijų lentelė (santrauka)

---

Savarankiško darbo užduotys

1. Bazinė funkcija $y = x^2$. Užrašykite funkcijos lygtį, kai parabolė pasislinkusi 5 vienetais į kairę ir 2 vienetais aukštyn.

2. Nubraižykite funkcijos $y = |x - 3| + 1$ grafiką, pradedant nuo $y = |x|$. Nurodykite, kokios transformacijos taikytos.

3. Funkcija $y = \sqrt{x}$ transformuojama į $y = -\sqrt{x} + 4$. Aprašykite transformacijas ir nurodykite naują pradžios tašką.

4. Duota funkcija $y = 2^x$. Kokia bus funkcija po atspindžio per y ašį ir postūmio 3 vienetais aukštyn? Užrašykite lygtį.

5. Nurodykite, kaip $y = 3\sin(2x)$ grafikas skiriasi nuo $y = \sin x$ grafiko. Koks naujas periodas ir amplitudė?

6. Bazinė funkcija $y = \frac{1}{x}$. Nubraižykite $y = \frac{1}{x - 2} + 1$ grafiką. Kur yra asimptotės?

7. Taškas $(2; 5)$ priklauso funkcijos $y = f(x)$ grafikui. Raskite atitinkamą tašką funkcijos $y = -f(x - 3) + 1$ grafike.

8. Funkcija $y = (x + 1)^2 - 4$. Nurodykite bazinę funkciją, visas transformacijas ir parabolės viršūnę.

9. Kokia transformacija paverčia $y = x^3$ į $y = -(x - 2)^3 + 5$? Nurodykite visas transformacijas eilės tvarka.

10. Duota $f(x) = x^2 - 4x + 3$. Užrašykite šią funkciją kanonine forma $y = a(x - p)^2 + q$ ir nurodykite, kaip ji gauta iš $y = x^2$ transformacijomis.