Keturkampiai

Keturkampio kampų suma

Teorema: Bet kurio keturkampio vidaus kampų suma lygi 360°.

A + B + C + D = 360°

Pagrindimas: Bet kurį keturkampį galima padalyti įstrižaine į du trikampius, kurių kiekvieno kampų suma yra 180°.

Lygiagretainis

Lygiagretainis – keturkampis, kurio priešingos kraštinės lygiagrečios ir lygios.

Savybės

Priešingos kraštinės lygios: AB = CD, BC = AD
Priešingi kampai lygūs: ∠A = ∠C, ∠B = ∠D
Gretimi kampai papildo vienas kitą: ∠A + ∠B = 180°
Įstrižainės dalija viena kitą pusiau – susikirtimo taškas O dalija kiekvieną įstrižainę per pusę: AO = OC, BO = OD

Plotas

$S = a \cdot h$

kur a – pagrindas, h – atitinkama aukštinė.

Taip pat: S = ab·sin(α), kur a ir b – kraštinės, α – kampas tarp jų.

Pavyzdys: Lygiagretainis su kraštinėmis 6 ir 8, kampas tarp jų 30°.

S = 6·8·sin 30° = 48·0,5 = 24

Stačiakampis

Stačiakampis – lygiagretainis, kurio visi kampai tiesūs (90°).

Savybės

Visos lygiagretainio savybės
Visi kampai lygūs 90°
Įstrižainės lygios: d₁ = d₂
Įstrižainės taip pat dalija viena kitą pusiau

Įstrižainė

Pagal Pitagoro teoremą: $d = \sqrt{a^2 + b^2}$

Plotas ir perimetras

S = ab; P = 2(a + b)

Pavyzdys: Stačiakampis su kraštinėmis 5 ir 12.

d = √(25 + 144) = √169 = 13; S = 60; P = 34

Rombas

Rombas – lygiagretainis, kurio visos kraštinės lygios (a = b = c = d).

Savybės

Visos lygiagretainio savybės
Visos keturios kraštinės lygios
Įstrižainės statmenos viena kitai (d₁ ⊥ d₂)
Įstrižainės dalija viena kitą pusiau
Įstrižainės yra kampų bisektrisės

Plotas

$S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$

kur d₁ ir d₂ – įstrižainių ilgiai.

Taip pat: S = a²·sin(α)

Pavyzdys: Rombo įstrižainės 10 ir 24.

S = (10·24)/2 = 120

Kraštinė: a = √(5² + 12²) = √169 = 13 (pusės įstrižainių – 5 ir 12)

Kvadratas

Kvadratas – taisyklingas keturkampis: visos kraštinės lygios ir visi kampai tiesūs.

Kvadratas yra ir stačiakampis, ir rombas!

Savybės

Visos kraštinės lygios
Visi kampai lygūs 90°
Įstrižainės lygios, statmenos ir dalija viena kitą pusiau
Įstrižainė: $d = a\sqrt{2}$

Plotas ir perimetras

S = a²; P = 4a

Pavyzdys: Kvadrato kraštinė a = 7.

S = 49; P = 28; d = 7√2 ≈ 9,9

Trapecija

Trapecija – keturkampis, kurio tik dvi kraštinės lygiagrečios. Lygiagrečios kraštinės vadinamos pagrindais (a ir b), kitos – šoninėmis kraštinėmis.

Plotas

$S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$

kur a ir b – pagrindai, h – aukštinė (atstumas tarp pagrindų).

Pavyzdys: Trapecija su pagrindais 6 ir 10, aukštine 5.

S = (6 + 10)·5/2 = 40

Vidurlinė

Trapecijos vidurlinė – atkarpa, jungianti šoninių kraštinių vidurius. Ji:

Lygiagretė pagrindams
Lygi jų pusei sumos: $m = \frac{a + b}{2}$

Pavyzdys: Pagrindai 4 ir 12. Vidurlinė m = (4+12)/2 = 8

Lygiašonė trapecija

Lygiašonėje trapecijoje šoninės kraštinės lygios, o pagrindų kampai taip pat lygūs poromis. Įstrižainės lygios.

Reguliarusis daugiakampis

Reguliarusis n-kampis – daugiakampis, kurio visos kraštinės lygios ir visi kampai lygūs.

Vieno vidaus kampo formulė

$\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180°}{n}$

n	Daugiakampis	Vidaus kampas
3	Trikampis	60°
4	Kvadratas	90°
5	Penkiakampis	108°
6	Šešiakampis	120°

Plotas

$S = \frac{n \cdot a \cdot r}{2}$

kur n – kraštinių skaičius, a – kraštinės ilgis, r – įbrėžtinio apskritimo spindulys.

Arba: $S = \frac{n a^2}{4} \cot\left(\frac{\pi}{n}\right)$

Pavyzdys: Reguliarusis šešiakampis su kraštine a = 4.

S = (6·4·2√3)/2 = 24√3 ≈ 41,6 (čia r = 2√3)

Savarankiško darbo užduotys

Lygiagretainio kraštinės 5 ir 9, o kampas tarp jų 60°. Apskaičiuokite plotą.
Stačiakampio kraštinės 8 ir 15. Raskite įstrižainės ilgį ir plotą.
Rombo įstrižainės 16 ir 12. Apskaičiuokite kraštinę ir plotą.
Trapecijos pagrindai 7 ir 13, aukštinė 6. Apskaičiuokite plotą ir vidurlinę.
Reguliariojo šešiakampio kraštinė 5. Apskaičiuokite perimetrą ir vidaus kampus.
Keturkampio trys kampai yra 80°, 95° ir 110°. Raskite ketvirtąjį kampą.
Kvadrato plotas yra 196. Raskite kraštinę ir įstrižainę.
Lygiagretainio įstrižainės susikerta taške O. Vienas segmentas yra OA = 5. Koks yra OC?
Lygiašonės trapecijos pagrindai 6 ir 14, šoninė kraštinė 5. Apskaičiuokite aukštinę ir plotą.
Reguliariojo penkiakampio kraštinė 10. Apskaičiuokite vidaus kampų sumą ir vieno kampo dydį.