Trikampiai

Trikampių rūšys

Pagal kraštines

Lygiakraštis – visos trys kraštinės lygios (a = b = c). Visi kampai 60°.
Lygiašonis – dvi kraštinės lygios. Prie pagrindo esantys kampai lygūs.
Stačiasis – vienas kampas lygus 90°. Ilgiausia kraštinė – hipotenuzė.
Įvairiakraštis – visos kraštinės skirtingos.

Pagal kampus

Smailusis – visi kampai smailūs (mažesni nei 90°)
Stačiasis – vienas kampas lygus 90°
Bukakampis – vienas kampas bukas (didesnis nei 90°)

Kampų suma

Teorema: Bet kurio trikampio vidaus kampų suma lygi 180°.

A + B + C = 180°

Pavyzdys: Trikampio du kampai yra 47° ir 83°. Apskaičiuokite trečiąjį.

C = 180° - 47° - 83° = 50°

Išorinis kampas lygus dviejų negretutinių vidaus kampų sumai:

kampas D = A + B (kai D yra išorinis prie kampo C)

Sinuso teorema

Bet kuriame trikampyje:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

kur R – apbrėžtinio apskritimo spindulys.

Taikymas: Kai žinomi du kampai ir viena kraštinė.

Pavyzdys: Trikampyje a = 8, A = 30°, B = 45°. Raskite b.

Iš sinuso teoremos: $\frac{8}{\sin 30°} = \frac{b}{\sin 45°}$

$b = \frac{8 \cdot \sin 45°}{\sin 30°} = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 8\sqrt{2} \approx 11{,}31$

Kosinuso teorema

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

analogiškai: a² = b² + c² - 2bc·cos A; b² = a² + c² - 2ac·cos B

Taikymas: Kai žinomos trys kraštinės (apskaičiuoti kampus) arba dvi kraštinės ir kampas tarp jų.

Pastaba: Kai C = 90°, cos 90° = 0, ir gauname Pitagoro teoremą: c² = a² + b²

Pavyzdys: Trikampyje a = 5, b = 7, C = 60°. Raskite c.

c² = 25 + 49 - 2·5·7·cos 60° = 74 - 70·(1/2) = 74 - 35 = 39

c = √39 ≈ 6,24

Plotų formulės

Pagrindinė formulė

$S = \frac{ah}{2}$

kur a – pagrindas, h – atitinkama aukštinė.

Per dvi kraštines ir tarp jų esantį kampą

$S = \frac{1}{2}ab\sin C$

Pavyzdys: a = 6, b = 8, C = 30°. S = (1/2)·6·8·sin 30° = 24·0,5 = 12

Herono formulė

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

kur p = (a + b + c)/2 – pusperimetris.

Pavyzdys: a = 5, b = 6, c = 7. p = (5+6+7)/2 = 9.

S = √(9·4·3·2) = √216 = 6√6 ≈ 14,7

Aukštinė, mediana, bisektrisė

Aukštinė

Aukštinė – statmuo iš viršūnės į priešingą kraštinę. Visos trys aukštinės susikerta ortocentre.

Stataus trikampio aukštinė iš stačiojo kampo į hipotenuzę: $h = \frac{ab}{c}$

Mediana

Mediana – atkarpą iš viršūnės į priešingos kraštinės vidurį. Visos trys medianos susikerta centroide, kuris dalija kiekvieną medianą santykiu 2:1.

Medianos formulė: $m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$

Bisektrisė

Bisektrisė – spindulys, dalijantis kampą pusiau. Visos trys bisektrisės susikerta įcentre – įbrėžtinio apskritimo centre.

Įbrėžtinis ir apbrėžtinis apskritimai

Apbrėžtinis apskritimas

Apbrėžtinio apskritimo spindulys: $R = \frac{abc}{4S}$

Iš sinuso teoremos: $R = \frac{a}{2\sin A}$

Įbrėžtinis apskritimas

Įbrėžtinio apskritimo spindulys: $r = \frac{S}{p}$

kur S – trikampio plotas, p – pusperimetris.

Pavyzdys: Lygiakraščio trikampio kraštinė a = 6.

p = (6+6+6)/2 = 9. S = (√3/4)·36 = 9√3.

r = 9√3/9 = √3 ≈ 1,73

R = 6/(2·sin 60°) = 6/√3 = 2√3 ≈ 3,46

Pastaba: R = 2r lygiakraščiame trikampyje ✓

Savarankiško darbo užduotys

Trikampio kampai – 35°, 70° ir trečiasis. Raskite trečiąjį kampą.
Trikampyje b = 10, B = 45°, C = 75°. Naudodami sinuso teoremą, raskite c.
Trikampyje a = 4, b = 6, C = 120°. Raskite kraštinę c (kosinuso teorema).
Apskaičiuokite trikampio plotą, jei dvi kraštinės yra 8 ir 10, o kampas tarp jų – 60°.
Apskaičiuokite trikampio su kraštinėmis 9, 12, 15 plotą Herono formule.
Trikampyje S = 24, p = 12. Raskite įbrėžtinio apskritimo spindulį r.
Stačiajame trikampyje hipotenuzė c = 13, vienas statinis a = 5. Raskite kitą statinį ir kampus.
Lygiašoniame trikampyje šoninis kraštinės ilgis 5, pagrindas 6. Apskaičiuokite plotą.
Naudodami kosinuso teoremą, raskite didžiausią trikampio su kraštinėmis 7, 8, 9 kampą.
Įrodykite, kad trikampyje, kuriame A = 90°, sinuso teorema suteikia R = c/2.