Aritmetinė progresija

Apibrėžimas

Aritmetinė progresija – tai seka, kurioje kiekvienas paskesnis narys gaunamas iš ankstesnio pridedant tą patį skaičių d (skirtumą).

$a_{n+1} - a_n = d \text{ (konstanta visuose nariuose)}$

Žymėjimas: (a₁, a₂, a₃, ..., aₙ, ...) arba

d > 0 – progresija didėjanti

d < 0 – progresija mažėjanti

d = 0 – visi nariai lygūs (konstanta)

Pavyzdžiai:

2, 5, 8, 11, 14, ... (d = 3)
20, 15, 10, 5, 0, -5, ... (d = -5)
3, 3, 3, 3, ... (d = 0)

Pavyzdys: Ar seka 1, 3, 6, 10, ... yra aritmetinė?

Skirtumai: 3-1 = 2, 6-3 = 3, 10-6 = 4 – skirtumai skirtingi, nėra aritmetinė progresija.

Bendrasis narys

n-asis narys apskaičiuojamas pagal formulę:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

Išvestis: a₂ = a₁ + d, a₃ = a₁ + 2d, ..., aₙ = a₁ + (n-1)d

Pavyzdys 1: Raskite 10-ąjį aritmetinės progresijos 3, 7, 11, 15, ... narį.

a₁ = 3, d = 4.

a₁₀ = 3 + (10-1)·4 = 3 + 36 = 39

Pavyzdys 2: Progresijoje a₁ = 100 ir d = -7. Raskite a₁₅.

a₁₅ = 100 + 14·(-7) = 100 - 98 = 2

Pavyzdys 3: Raskite n, kai aₙ = 50, a₁ = 2, d = 4.

50 = 2 + (n-1)·4 → 48 = (n-1)·4 → n-1 = 12 → n = 13

Tarpinis narys (vidurkis)

Bet koks narys aₙ yra lygus dviejų kaimyninių narių aritmetiniam vidurkiui:

$a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$

Tai reiškia, kad bet trys iš eilės einantys nariai yra vienodai nutolę vienas nuo kito.

Taikymas: Jei reikia rasti aritmetinę progresiją tarp dviejų narių.

Pavyzdys: Įterpkite du narius tarp 2 ir 14.

2, _, _, 14 – turime 4 narius, 3 intervalus.

d = (14 - 2)/3 = 4. Nariai: 2, 6, 10, 14 ✓

Sumos formulė

Pirmos n narių suma:

$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

arba

$S_n = \frac{n(2a_1 + (n-1)d)}{2}$

Geometrinis paaiškinimas: Suma lygi vidurkio ir narių skaičiaus sandaugai – kaip stačiakampio plotas.

Pavyzdys 1: Raskite pirmos aritmetinės progresijos 1, 4, 7, 10, ... 20 narių sumą.

a₁ = 1, d = 3, n = 20.

a₂₀ = 1 + 19·3 = 58.

S₂₀ = 20·(1 + 58)/2 = 20·59/2 = 590

Pavyzdys 2: Apskaičiuokite 1 + 2 + 3 + ... + 100.

a₁ = 1, aₙ = 100, n = 100.

S₁₀₀ = 100·(1+100)/2 = 5050 (Gauso formulė!)

Pavyzdys 3: Progresijoje a₁ = 5, d = -2, S_n = -40. Raskite n.

-40 = n(2·5 + (n-1)·(-2))/2 = n(10 - 2n + 2)/2 = n(12 - 2n)/2 = n(6 - n)

-40 = 6n - n² → n² - 6n - 40 = 0

D = 36 + 160 = 196; n = (6 ± 14)/2

n = 10 arba n = -4 (neatitinka, n > 0)

n = 10

Parametrų radimas

Pavyzdys: Aritmetinės progresijos a₃ = 11 ir a₇ = 27. Raskite a₁ ir d.

a₃ = a₁ + 2d = 11 ... (1) a₇ = a₁ + 6d = 27 ... (2)

Iš (2) - (1): 4d = 16 → d = 4

Iš (1): a₁ = 11 - 8 = 3

a₁ = 3, d = 4

Patikra: 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27 ✓

Taikymas: Piniginiai skaičiavimai

Pavyzdys: Kasmet darbuotojas uždirba 1000 € daugiau nei ankstesniais metais. Pirmaisiais metais jis uždirbo 15 000 €. Kiek iš viso jis uždirbs per 10 metų?

a₁ = 15 000, d = 1 000, n = 10.

S₁₀ = 10·(2·15000 + 9·1000)/2 = 10·(30000 + 9000)/2 = 10·39000/2 = 195 000 €

Modelio pasirinkimas ir patikra

Aritmetinę progresiją nuo kitų sekų patikimai atskiria pastovus gretimų narių skirtumas. Jei pastovus ne skirtumas, o santykis, modelis yra geometrinis. Tekstiniame uždavinyje vienodas absoliutus prieaugis, pavyzdžiui, kasmet pridedama po 1000 €, rodo aritmetinį modelį; vienodas procentinis prieaugis jo nerodo.

Radus $n$ iš kvadratinės lygties gali atsirasti dvi algebrinės šaknys. Nario numeris turi būti teigiamas sveikasis skaičius, todėl netinkama šaknis atmetama pagrįstai. Galutinę sumą galima patikrinti poruojant pirmą ir paskutinį, antrą ir priešpaskutinį narius: kiekvienos poros suma turi būti vienoda.

Savarankiško darbo užduotys

Nustatykite, ar 5, 9, 13, 17, 21 yra aritmetinė progresija. Raskite d.
Aritmetinėje progresijoje a₁ = 3, d = 5. Raskite a₈.
Raskite 15-ąjį progresijos -4, -1, 2, 5, ... narį.
Progresijoje a₁ = 7 ir a₁₀ = 43. Raskite d ir a₅.
Apskaičiuokite pirmųjų 50 natūraliųjų skaičių sumą.
Aritmetinėje progresijoje a₃ = 9 ir a₆ = 18. Raskite a₁ ir S₁₀.
Apskaičiuokite sumą: 5 + 9 + 13 + ... + 101.
Keli nariai turi būti aritmetinėje progresijoje, kad suma lygi 120, jei a₁ = 4 ir d = 2?
Įterpkite 4 narius tarp skaičių 1 ir 21 taip, kad gautume aritmetinę progresiją.
Teatre yra 20 eilučių. Pirmoje eilėje 15 vietų, kiekvienoje sekančioje po 2 vietas daugiau. Kiek iš viso vietų teatre?