Geometrinė progresija

Apibrėžimas

Geometrinė progresija – tai seka, kurioje kiekvienas paskesnis narys gaunamas iš ankstesnio dauginant iš to paties skaičiaus q (vardiklio arba koeficiento).

$\frac{b_{n+1}}{b_n} = q \text{ (konstanta visuose nariuose)}$

Žymėjimas: (b₁, b₂, b₃, ..., bₙ, ...)

Svarbu: b₁ ≠ 0 ir q ≠ 0

Pavyzdžiai:

2, 6, 18, 54, 162, ... (q = 3)
64, 32, 16, 8, 4, 2, 1, ... (q = 1/2)
1, -2, 4, -8, 16, ... (q = -2)
5, 5, 5, 5, ... (q = 1)

Pavyzdys: Ar seka 2, 6, 18, 54 yra geometrinė?

Santykiai: 6/2 = 3, 18/6 = 3, 54/18 = 3 – visi lygūs, taip, geometrinė progresija, q = 3.

Bendrasis narys

n-asis narys:

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Pavyzdys 1: Raskite 7-ąjį progresijos 3, 6, 12, 24, ... narį.

b₁ = 3, q = 2.

b₇ = 3·2⁶ = 3·64 = 192

Pavyzdys 2: Progresijoje b₁ = 1000, q = 0,1. Raskite b₅.

b₅ = 1000·(0,1)⁴ = 1000·0,0001 = 0,1

Pavyzdys 3: Progresijoje b₂ = 6 ir b₅ = 48. Raskite q ir b₁.

b₂ = b₁·q = 6 ... (1) b₅ = b₁·q⁴ = 48 ... (2)

Daliname (2) iš (1): q³ = 8 → q = 2

Iš (1): b₁ = 6/2 = 3

b₁ = 3, q = 2 (Progresija: 3, 6, 12, 24, 48, ...)

Geometrinis vidurkis

Bet koks narys bₙ yra lygus dviejų kaimyninių narių geometriniam vidurkiui:

$b_n = \pm\sqrt{b_{n-1} \cdot b_{n+1}}$

Pavyzdys: Trys iš eilės geometrinės progresijos nariai: 4, x, 25.

x = ±√(4·25) = ±√100 = ±10

Jei q > 0: x = 10 (progresija 4, 10, 25) Jei q < 0: x = -10 (progresija 4, -10, 25)

Tikriname: 10/4 = 2,5; 25/10 = 2,5 ✓ q = 2,5

Sumos formulė (baigtinė)

Pirmos n narių suma (kai q ≠ 1):

$S_n = b_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$

Kai q = 1: S_n = b₁·n

Pavyzdys 1: Raskite sumą 2 + 6 + 18 + ... (pirmi 8 nariai).

b₁ = 2, q = 3, n = 8.

S₈ = 2·(3⁸ - 1)/(3 - 1) = 2·(6561 - 1)/2 = 6560

Pavyzdys 2: Raskite sumą 1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/128.

b₁ = 1, q = 1/2. Paskutinis narys 1/128 = (1/2)⁷, taigi n = 8.

S₈ = 1·((1/2)⁸ - 1)/(1/2 - 1) = (1/256 - 1)/(-1/2) = (-255/256)·(-2) = 255/128

Begalinės geometrinės progresijos suma

Jei |q| < 1, begalinė geometrinė progresija turi baigtinę sumą:

$S_\infty = \frac{b_1}{1 - q}$

Paaiškinimas: Kuo daugiau narių susumuojame, tuo suma artėja prie b₁/(1-q).

Pavyzdys 1: Raskite sumą 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + ...

b₁ = 1, q = 1/3, |q| < 1.

S∞ = 1/(1 - 1/3) = 1/(2/3) = 3/2

Pavyzdys 2: Raskite sumą 0,9 + 0,09 + 0,009 + ...

b₁ = 0,9, q = 0,1.

S∞ = 0,9/(1 - 0,1) = 0,9/0,9 = 1

Pastaba: 0,9999... = 1 – tai ir įrodinėja!

Pavyzdys 3: Begalinės progresijos suma lygi 4, o b₁ = 2. Raskite q.

4 = 2/(1 - q) → 4(1-q) = 2 → 4 - 4q = 2 → 4q = 2 → q = 1/2

Sudėtinės palūkanos kaip geometrinė progresija

Jei pradinis kapitalas K₀ deponuojamas su metine palūkanų norma r (pvz., r = 0,05 reiškia 5%), tai po n metų kapitalas:

$K_n = K_0 \cdot (1 + r)^n$

Kasmet kapitalo reikšmės K₀, K₁, K₂, ..., Kₙ sudaro geometrinę progresiją su q = 1 + r.

Pavyzdys: 1000 € deponuojama į banką su 5% metine palūkanų norma. Kiek bus po 10 metų?

K₁₀ = 1000·(1,05)¹⁰ ≈ 1000·1,6289 ≈ 1628,90 €

Pavyzdys 2 (nuosavybės nusidėvėjimas): Automobilis kainuoja 20 000 €. Kiekvienais metais jo vertė mažėja 15%. Kiek jis vertas po 4 metų?

q = 1 - 0,15 = 0,85

K₄ = 20000·(0,85)⁴ = 20000·0,5220 ≈ 10 440 €

Savarankiško darbo užduotys

Nustatykite, ar 3, 6, 12, 24, 48 yra geometrinė progresija. Raskite q.
Raskite 6-ąjį geometrinės progresijos 5, 10, 20, ... narį.
Progresijoje b₁ = 81, q = -1/3. Raskite b₅.
Progresijoje b₃ = 12 ir b₆ = 96. Raskite b₁ ir q.
Apskaičiuokite sumą: 3 + 6 + 12 + ... (pirmi 10 narių).
Raskite begalinės progresijos 12 + 4 + 4/3 + ... sumą.
Begalinės progresijos suma lygi 15, b₁ = 10. Raskite q.
500 € deponuojama su 8% metine palūkanų norma. Kiek bus po 5 metų?
Įterpkite du narius tarp 4 ir 500 taip, kad gautume geometrinę progresiją.
Geometrinės progresijos suma S₄ = 15, S₈ = 255. Raskite b₁ ir q.