Sinusas, kosinusas ir tangentas

Sinusas, kosinusas ir tangentas

Apibrėžimas stačiajame trikampyje

Stačiajame trikampyje ABC, kur C = 90°, kampui A apibrėžiame:

$\sin A = \frac{\text{priešingasis statinis}}{\text{hipotenuzė}} = \frac{a}{c}$

$\cos A = \frac{\text{gretimas statinis}}{\text{hipotenuzė}} = \frac{b}{c}$

$\tan A = \frac{\text{priešingasis statinis}}{\text{gretimas statinis}} = \frac{a}{b} = \frac{\sin A}{\cos A}$

$\cot A = \frac{\text{gretimas statinis}}{\text{priešingasis statinis}} = \frac{b}{a} = \frac{\cos A}{\sin A}$

Svarbu: Šie apibrėžimai galioja tik smailiesiems kampams (0° < A < 90°).

Apibrėžimas vienetiniame apskritime

Vienetinis apskritimas – apskritimas, kurio centras koordinačių pradžioje O(0,0) ir spindulys R = 1.

Taškas P(x, y) ant vienetinio apskritimo, atitinkantis kampą α (matuojamą nuo teigiamos x ašies prieš laikrodžio rodyklę):

$\cos \alpha = x \text{ (taško x koordinatė)}$

$\sin \alpha = y \text{ (taško y koordinatė)}$

$\tan \alpha = \frac{y}{x} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \text{ (kai } x \neq 0\text{)}$

Šis apibrėžimas leidžia apibrėžti trigonometrines funkcijas visiems kampams (ir didesnį nei 90°, ir neigiamus).

Reikšmių sritis

Pagrindinės reikšmių lentelė

Atmintinė: sin 30° = 1/2, sin 45° = √2/2 ≈ 0,707, sin 60° = √3/2 ≈ 0,866

Ženklai pagal kvadrantus

Vienetiniame apskritime – keturi ketvirčiai:

Atmintinė: "Visi Studentai Truks Kolokviumą" (V, S, T, K – pagal pirmąsias raides + → All, Sin, Tan, Cos)

Ryšys tarp kampų

Papildantieji kampai (suma 180°)

$\sin(180° - x) = \sin x$ $\cos(180° - x) = -\cos x$ $\tan(180° - x) = -\tan x$

Pavyzdys: sin 150° = sin(180° - 30°) = sin 30° = 1/2

Atspindys per 0° (neigiamas kampas)

$\sin(-x) = -\sin x \text{ (nelyginė funkcija)}$ $\cos(-x) = \cos x \text{ (lyginė funkcija)}$

Papildantieji kampai (suma 90°)

$\sin(90° - x) = \cos x$ $\cos(90° - x) = \sin x$

Pavyzdys: sin 80° = cos 10°; cos 70° = sin 20°

Trigonometrinių funkcijų periodiškumas

Visos trigonometrinės funkcijos yra periodinės:

• sin x ir cos x: periodas 2π (360°)
• tan x ir cot x: periodas π (180°)

$\sin(x + 360°) = \sin x$ $\cos(x + 360°) = \cos x$ $\tan(x + 180°) = \tan x$

Praktiniai pavyzdžiai

Pavyzdys 1: Stačiajame trikampyje hipotenuzė 10, kampas 37°. Raskite statinius.

• a (priešpriešinis) = 10·sin 37° ≈ 10·0,602 ≈ 6,02
• b (gretimas) = 10·cos 37° ≈ 10·0,799 ≈ 7,99

Pavyzdys 2: Apskaičiuokite sin 225°.

225° = 180° + 45° (III kvadrantas, sin neigiamas) sin 225° = -sin 45° = -√2/2

Pavyzdys 3: Apskaičiuokite cos 300°.

300° = 360° - 60° (IV kvadrantas, cos teigiamas) cos 300° = cos(-60°) = cos 60° = 1/2

Savarankiško darbo užduotys

1. Apskaičiuokite: sin 120°, cos 135°, tan 150°

2. Stačiajame trikampyje kampas A = 52°, hipotenuzė c = 15. Raskite statinius a ir b.

3. Apskaičiuokite sin 240° naudodami kampų ryšius.

4. Kuriame kvadrante yra kampas 315°? Nustatykite sin 315° ir cos 315° ženklus.

5. Apskaičiuokite: cos 270°, sin 270°, tan 0°

6. Jei sin x = 3/5 ir x yra I kvadrante, raskite cos x ir tan x.

7. Apskaičiuokite tan 45° + cos 60° – sin 30°

8. Koks kampas turi tą pačią sinuso reikšmę kaip 70°, bet yra II kvadrante?

9. Apskaičiuokite sin(-30°), cos(-45°)

10. Stačiajame trikampyje statiniai 5 ir 12. Raskite hipotenuzę ir abu smailius kampus.