Trigonometrinės tapatybės

Trigonometrinės tapatybės

Pagrindinė trigonometrinė tapatybė

Vienetiniame apskritime taško P(cos x, sin x) atstumas iki centro visada lygus 1, todėl:

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

Ši tapatybė galioja visiems x reikšmėms.

Išvestinės tapatybės

Dalydami pagrindinę tapatybę iš cos²x (kai cos x ≠ 0):

$\tan^2 x + 1 = \frac{1}{\cos^2 x}$

arba: $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$

Dalydami pagrindinę tapatybę iš sin²x (kai sin x ≠ 0):

$\cot^2 x + 1 = \frac{1}{\sin^2 x}$

arba: $1 + \cot^2 x = \csc^2 x$

Pavyzdys: Žinoma, kad sin x = 3/5 ir x ∈ I kvadrantas. Raskite cos x.

cos²x = 1 - sin²x = 1 - 9/25 = 16/25

cos x = 4/5 (teigiamas, nes I kvadrantas)

Redukcijos formulės

Redukcijos formulės leidžia išreikšti bet kokio kampo trigonometrines funkcijas per aštriojo kampo funkcijas.

Papildinys (π - x arba 180° - x)

$\sin(\pi - x) = \sin x$ $\cos(\pi - x) = -\cos x$ $\tan(\pi - x) = -\tan x$

Neigiamas kampas (−x)

$\sin(-x) = -\sin x$ $\cos(-x) = \cos x$ $\tan(-x) = -\tan x$

Kirtiklis (π/2 - x arba 90° - x)

$\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$ $\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$ $\tan\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cot x$

Pridėjus π/2 (90°)

$\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos x$ $\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x$

Pridėjus π (180°)

$\sin(\pi + x) = -\sin x$ $\cos(\pi + x) = -\cos x$ $\tan(\pi + x) = \tan x$

Pavyzdys: Apskaičiuokite sin 210°.

sin 210° = sin(180° + 30°) = -sin 30° = -1/2

Pavyzdys: Apskaičiuokite cos 330°.

cos 330° = cos(360° - 30°) = cos(-30°) = cos 30° = √3/2

Sudėties formulės

Sinuso sudėtis ir skirtumas

$\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$ $\sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b$

Kosinuso sudėtis ir skirtumas

$\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$ $\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$

Tangento sudėtis ir skirtumas

$\tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}$ $\tan(a - b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b}$

Pavyzdys: Apskaičiuokite sin 75° = sin(45° + 30°).

sin 75° = sin 45°·cos 30° + cos 45°·sin 30°

= (√2/2)·(√3/2) + (√2/2)·(1/2)

= √6/4 + √2/4 = (√6 + √2)/4

Pavyzdys: Apskaičiuokite cos 15° = cos(45° - 30°).

cos 15° = cos 45°·cos 30° + sin 45°·sin 30°

= (√2/2)·(√3/2) + (√2/2)·(1/2) = (√6 + √2)/4

Dvigubo kampo formulės

Kai a = b sudėties formulėse:

$\sin 2x = 2\sin x \cos x$

$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 1 - 2\sin^2 x = 2\cos^2 x - 1$

$\tan 2x = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x}$

Pavyzdys: Jei sin x = 3/5 (I kvadrantas), apskaičiuokite sin 2x ir cos 2x.

cos x = 4/5 (iš pagrindinės tapatybės)

sin 2x = 2·(3/5)·(4/5) = 24/25

cos 2x = cos²x - sin²x = 16/25 - 9/25 = 7/25

Pusinio kampo formulės

$\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2}$

$\cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}$

Pavyzdys: Apskaičiuokite sin 15°.

sin²15° = (1 - cos 30°)/2 = (1 - √3/2)/2 = (2 - √3)/4

sin 15° = √((2 - √3)/4) = √(2 - √3)/2

Sandaugos pavertimas suma

$\sin a \cos b = \frac{1}{2}[\sin(a+b) + \sin(a-b)]$

$\cos a \cos b = \frac{1}{2}[\cos(a+b) + \cos(a-b)]$

$\sin a \sin b = \frac{1}{2}[\cos(a-b) - \cos(a+b)]$

Savarankiško darbo užduotys

1. Jei cos x = -5/13 ir x ∈ II kvadrantas, raskite sin x ir tan x.

2. Apskaičiuokite sin 105° = sin(60° + 45°) naudodami sudėties formulę.

3. Įrodykite tapatybę: (sin x + cos x)² = 1 + sin 2x

4. Suprastinkite: sin(π - x)·cos(π + x) + cos(π/2 - x)·sin(-x)

5. Jei tan x = 2 ir x ∈ III kvadrantas, raskite sin x ir cos x.

6. Apskaičiuokite cos 2x, jei cos x = -3/5.

7. Naudodami dvigubo kampo formulę, apskaičiuokite sin 120°.

8. Įrodykite: $\frac{\sin 2x}{1 + \cos 2x} = \tan x$

9. Apskaičiuokite tan(π/4 + π/4) naudodami sudėties formulę ir patikrinkite rezultatą.

10. Suprastinkite: cos²3x - sin²3x