Trigonometrinės lygtys

Trigonometrinės lygtys

Sinuso lygtis sin(x) = a

Kai |a| ≤ 1, lygtis turi begalę sprendinių:

$x = \arcsin(a) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$ $x = \pi - \arcsin(a) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Pastaba: Arcsinuso funkcija grąžina kampą [-π/2; π/2].

Pavyzdys 1: Išspręskite sin(x) = 1/2

arcsin(1/2) = π/6 (30°)

• x = π/6 + 2πn
• x = π - π/6 + 2πn = 5π/6 + 2πn

Atsakymas: x = π/6 + 2πn arba x = 5π/6 + 2πn, n ∈ ℤ

Pavyzdys 2: sin(x) = -1

arcsin(-1) = -π/2

• x = -π/2 + 2πn
• x = π - (-π/2) + 2πn = 3π/2 + 2πn

Abu atsakymai sutampa: x = -π/2 + 2πn = 3π/2 + 2πn

Kosinuso lygtis cos(x) = a

Kai |a| ≤ 1:

$x = \pm\arccos(a) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Pavyzdys: Išspręskite cos(x) = -√2/2

arccos(-√2/2) = 3π/4 (135°)

• x = ±3π/4 + 2πn

Atsakymas: x = 3π/4 + 2πn arba x = -3π/4 + 2πn, n ∈ ℤ

Tangento lygtis tan(x) = a

$x = \arctan(a) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Pavyzdys: Išspręskite tan(x) = 1

arctan(1) = π/4 (45°)

Atsakymas: x = π/4 + πn, n ∈ ℤ

Pavyzdys: tan(x) = -√3

arctan(-√3) = -π/3

Atsakymas: x = -π/3 + πn = 2π/3 + πn, n ∈ ℤ

Sprendiniai konkrečiame intervale

Dažnai reikia rasti sprendinius tam tikrame intervale, pvz. [0; 2π) arba [0°; 360°).

Metodas:

1. Rasti bendrąjį sprendinį
2. Apskaičiuoti konkrečias n reikšmes, kurios patenka į intervalą

Pavyzdys: Rasti sin(x) = √3/2 sprendinius [0; 2π)

Bendrasis: x = π/3 + 2πn arba x = 2π/3 + 2πn

Kai n = 0: x = π/3 ≈ 1,047 ✓ ir x = 2π/3 ≈ 2,094 ✓

Kai n = 1: x = π/3 + 2π > 2π ✗ (netenka)

Atsakymas: x = π/3 ir x = 2π/3

Pavyzdys: Rasti cos(x) = -1/2 sprendinius [0°; 360°)

arccos(-1/2) = 120°

x = ±120° + 360°n

n = 0: x = 120° ✓ ir x = -120° ✗ (netenka, nes < 0°) n = 1: x = -120° + 360° = 240° ✓

Atsakymas: x = 120° ir x = 240°

Sudėtingesnės lygtys

Kvadratinė pagal trigonometrinę funkciją

Pavyzdys: 2sin²x + sin(x) - 1 = 0

Tegul t = sin x. Tada: 2t² + t - 1 = 0

D = 1 + 8 = 9; t = (-1 ± 3)/4

t₁ = 2/4 = 1/2 arba t₂ = -4/4 = -1

Kai sin x = 1/2: x = π/6 + 2πn arba x = 5π/6 + 2πn

Kai sin x = -1: x = -π/2 + 2πn = 3π/2 + 2πn

Dvigubo kampo lygtys

Pavyzdys: sin(2x) = sin(x)

Naudojame sin 2x = 2 sin x cos x:

2 sin x cos x = sin x

2 sin x cos x - sin x = 0

sin x (2 cos x - 1) = 0

• sin x = 0: x = πn
• cos x = 1/2: x = ±π/3 + 2πn

Atsakymas: x = πn arba x = ±π/3 + 2πn, n ∈ ℤ

Lygtis su kvadrato ir tiesės kombinacija

Pavyzdys: cos²x - cos x = 0 intervale [0; 2π)

cos x(cos x - 1) = 0

• cos x = 0: x = π/2 arba x = 3π/2
• cos x = 1: x = 0

Atsakymai: x = 0, π/2, 3π/2

Mišrios lygtys (sin ir cos)

Pavyzdys: sin x = cos x

Daliname iš cos x (kai cos x ≠ 0): tan x = 1

x = π/4 + πn

Patikrinti: Ar cos x = 0 yra sprendinys? Kai x = π/2: sin(π/2) = 1 ≠ 0 = cos(π/2). Taigi nėra.

Kelta kvadratu

Kai lygtį sunku suprastinti, galima kelti kvadratu, bet būtina patikrinti!

Pavyzdys: sin x + cos x = 1

Keldami kvadratu: sin²x + 2 sin x cos x + cos²x = 1

1 + sin 2x = 1 → sin 2x = 0 → 2x = πn → x = πn/2

n = 0: x = 0. sin 0 + cos 0 = 1 ✓ n = 1: x = π/2. sin(π/2) + cos(π/2) = 1 + 0 = 1 ✓ n = 2: x = π. sin π + cos π = 0 - 1 = -1 ✗ n = 3: x = 3π/2. sin(3π/2) + cos(3π/2) = -1 + 0 = -1 ✗

Atsakymas: x = 0 + 2πn arba x = π/2 + 2πn

Savarankiško darbo užduotys

1. Išspręskite: sin(x) = 0 (bendrasis sprendinys)

2. Išspręskite: cos(x) = 0 (bendrasis sprendinys)

3. Raskite sin(x) = -1/2 sprendinius intervale [0; 2π).

4. Raskite tan(x) = √3 sprendinius intervale [0°; 360°).

5. Išspręskite: 2cos²x - 1 = 0

6. Išspręskite: 2sin²x - sin x = 0 intervale [0; 2π).

7. Išspręskite: sin(2x) = -1 intervale [0; 2π).

8. Išspręskite: cos²x + cos x - 2 = 0

9. Raskite lygties sin(x) = cos(x) sprendinius [0; 2π).

10. Išspręskite: sin²x - 3sinx·cosx + 2cos²x = 0