Vektoriai koordinačių plokštumoje

Vektoriai koordinačių plokštumoje

Vektoriaus sąvoka

Vektorius – tai kryptinė atkarpa, turinti pradžią ir galą. Vektorius iš taško A į tašką B žymimas $\overrightarrow{AB}$ arba mažąja raide su rodykle $\vec{a}$.

Kiekvienas vektorius turi dvi savybes:

• Kryptį – nurodo, kuria linkme nukreiptas vektorius
• Ilgį (modulį) – atstumas nuo pradžios iki galo, žymimas $|\vec{a}|$ arba $|\overrightarrow{AB}|$

Vektoriaus koordinatės

Koordinačių plokštumoje vektorius $\vec{a}$ užrašomas koordinatėmis:

$\vec{a} = (x;\; y)$

Jei vektorius nubrėžtas iš taško $A(x_1;\; y_1)$ į tašką $B(x_2;\; y_2)$, tai jo koordinatės:

$\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1;\; y_2 - y_1)$

Pavyzdys 1: Raskite vektoriaus $\overrightarrow{AB}$ koordinates, kai $A(2;\; 3)$ ir $B(7;\; 1)$.

$\overrightarrow{AB} = (7 - 2;\; 1 - 3) = (5;\; -2)$

Pavyzdys 2: Raskite vektoriaus $\overrightarrow{CD}$ koordinates, kai $C(-1;\; 4)$ ir $D(3;\; -2)$.

$\overrightarrow{CD} = (3 - (-1);\; -2 - 4) = (4;\; -6)$

---

Vektoriaus ilgis (modulis)

Vektoriaus $\vec{a} = (x;\; y)$ ilgis apskaičiuojamas pagal formulę:

$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$

Atstumas tarp dviejų taškų $A(x_1;\; y_1)$ ir $B(x_2;\; y_2)$:

$|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Pavyzdys 3: Raskite vektoriaus $\vec{a} = (3;\; 4)$ ilgį.

$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

Pavyzdys 4: Raskite atstumą tarp taškų $A(1;\; 2)$ ir $B(4;\; 6)$.

$|AB| = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

---

Vektorių sudėtis ir atimtis

Jei $\vec{a} = (x_1;\; y_1)$ ir $\vec{b} = (x_2;\; y_2)$, tai:

Sudėtis:

$\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2;\; y_1 + y_2)$

Atimtis:

$\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2;\; y_1 - y_2)$

Pavyzdys 5: $\vec{a} = (2;\; 5)$, $\vec{b} = (3;\; -1)$. Raskite $\vec{a} + \vec{b}$ ir $\vec{a} - \vec{b}$.

$\vec{a} + \vec{b} = (2 + 3;\; 5 + (-1)) = (5;\; 4)$

$\vec{a} - \vec{b} = (2 - 3;\; 5 - (-1)) = (-1;\; 6)$

---

Vektoriaus daugyba iš skaičiaus

Vektorių $\vec{a} = (x;\; y)$ padauginus iš skaičiaus $k$:

$k \cdot \vec{a} = (kx;\; ky)$

• Jei $k > 0$ – vektoriaus kryptis nesikečia, ilgis padidėja $k$ kartų
• Jei $k < 0$ – vektorius apverčiamas priešinga kryptimi
• Jei $k = 0$ – gaunamas nulinis vektorius $\vec{0} = (0;\; 0)$

Pavyzdys 6: $\vec{a} = (4;\; -2)$. Raskite $3\vec{a}$ ir $-2\vec{a}$.

$3\vec{a} = (3 \cdot 4;\; 3 \cdot (-2)) = (12;\; -6)$

$-2\vec{a} = (-2 \cdot 4;\; -2 \cdot (-2)) = (-8;\; 4)$

---

Ypatingi vektoriai

Nulinis vektorius

Nulinis vektorius $\vec{0} = (0;\; 0)$ – jo ilgis lygus nuliui, kryptis neapibrėžta.

$\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$

Priešingas vektorius

Vektoriaus $\vec{a} = (x;\; y)$ priešingas vektorius:

$-\vec{a} = (-x;\; -y)$

$\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}$

Lygūs vektoriai

Du vektoriai $\vec{a}$ ir $\vec{b}$ yra lygūs, jei jų koordinatės sutampa:

$\vec{a} = \vec{b} \iff x_1 = x_2 \text{ ir } y_1 = y_2$

Lygūs vektoriai turi vienodą ilgį ir kryptį, bet gali būti nubrėžti iš skirtingų taškų.

---

Kolinearūs vektoriai

Du vektoriai $\vec{a} = (x_1;\; y_1)$ ir $\vec{b} = (x_2;\; y_2)$ yra kolinearūs (lygiagrečiai), jei vienas yra kito kartotinis:

$\vec{b} = k \cdot \vec{a}$

Tai ekvivalentu sąlygai:

$x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0$

Pavyzdys 7: Ar vektoriai $\vec{a} = (2;\; 6)$ ir $\vec{b} = (3;\; 9)$ kolinearūs?

$2 \cdot 9 - 3 \cdot 6 = 18 - 18 = 0$

Taip, vektoriai kolinearūs ($\vec{b} = 1{,}5 \cdot \vec{a}$).

Pavyzdys 8: Ar vektoriai $\vec{a} = (1;\; 3)$ ir $\vec{b} = (2;\; 5)$ kolinearūs?

$1 \cdot 5 - 2 \cdot 3 = 5 - 6 = -1 \neq 0$

Ne, vektoriai nekolinearūs.

---

Atkarpos vidurio taškas

Atkarpos $AB$ vidurio taško $M$ koordinatės, kai $A(x_1;\; y_1)$ ir $B(x_2;\; y_2)$:

$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2};\; \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$

Pavyzdys 9: Raskite atkarpos $AB$ vidurį, kai $A(1;\; 4)$ ir $B(5;\; 8)$.

$M = \left(\frac{1 + 5}{2};\; \frac{4 + 8}{2}\right) = (3;\; 6)$

Pavyzdys 10: Žinomas vidurio taškas $M(4;\; 3)$ ir vienas galas $A(1;\; 7)$. Raskite $B$.

Iš formulės: $x_B = 2 \cdot 4 - 1 = 7$, $y_B = 2 \cdot 3 - 7 = -1$.

$B = (7;\; -1)$

Patikra: $M = \left(\frac{1+7}{2};\; \frac{7+(-1)}{2}\right) = (4;\; 3)$ ✓

Savarankiško darbo užduotys

1. Raskite vektoriaus $\overrightarrow{AB}$ koordinates ir ilgį, kai $A(3;\; 1)$ ir $B(7;\; 4)$.

2. Duoti vektoriai $\vec{a} = (5;\; -3)$ ir $\vec{b} = (-2;\; 7)$. Apskaičiuokite $\vec{a} + \vec{b}$, $\vec{a} - \vec{b}$ ir $2\vec{a} + 3\vec{b}$.

3. Raskite atstumą tarp taškų $A(-2;\; 3)$ ir $B(4;\; -1)$.

4. Vektoriaus $\vec{a}$ ilgis lygus 10 ir koordinatės $(6;\; y)$, kur $y > 0$. Raskite $y$.

5. Patikrinkite, ar vektoriai $\vec{a} = (4;\; -6)$ ir $\vec{b} = (-6;\; 9)$ yra kolinearūs.

6. Raskite atkarpos $AB$ vidurio tašką, kai $A(-3;\; 5)$ ir $B(9;\; -1)$.

7. Trikampio viršūnės $A(1;\; 2)$, $B(5;\; 6)$, $C(7;\; 0)$. Raskite vektorius $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}$ ir $\overrightarrow{CA}$. Patikrinkite, kad $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \vec{0}$.

8. Žinomas vidurio taškas $M(5;\; 2)$ ir vienas galas $A(3;\; -4)$. Raskite tašką $B$.

9. Duoti taškai $A(0;\; 0)$, $B(4;\; 2)$, $C(6;\; -1)$. Apskaičiuokite $|\overrightarrow{AB}| + |\overrightarrow{BC}|$ ir $|\overrightarrow{AC}|$. Ar taškai yra vienoje tiesėje?

10. Raskite tokį skaičių $k$, kad vektoriai $\vec{a} = (k;\; 3)$ ir $\vec{b} = (6;\; -9)$ būtų kolinearūs.