Skaliarinė sandauga ir kampas

Skaliarinė sandauga ir kampas

Skaliarinės sandaugos apibrėžimas

Skaliarinė (vidinė) sandauga – tai operacija, kuri dviem vektoriams priskiria skaičių (ne vektorių).

Geometrinis apibrėžimas

Jei $\varphi$ – kampas tarp vektorių $\vec{a}$ ir $\vec{b}$, tai:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \varphi$

Kampas $\varphi$ matuojamas tarp vektorių, kai jie nubrėžti iš to paties taško ($0° \leq \varphi \leq 180°$).

Koordinatinis apibrėžimas

Jei $\vec{a} = (x_1;\; y_1)$ ir $\vec{b} = (x_2;\; y_2)$, tai:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$

Pavyzdys 1: Raskite skaliarinę sandaugą $\vec{a} \cdot \vec{b}$, kai $\vec{a} = (3;\; 4)$ ir $\vec{b} = (2;\; -5)$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 2 + 4 \cdot (-5) = 6 - 20 = -14$

Pavyzdys 2: $\vec{a} = (1;\; 7)$, $\vec{b} = (4;\; 2)$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 4 + 7 \cdot 2 = 4 + 14 = 18$

---

Skaliarinės sandaugos savybės

Iš paskutinės savybės gauname patogią formulę vektoriaus ilgiui rasti:

$|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}} = \sqrt{x^2 + y^2}$

Pavyzdys 3: Raskite $|\vec{a}|$, kai $\vec{a} = (5;\; 12)$.

$\vec{a} \cdot \vec{a} = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$

$|\vec{a}| = \sqrt{169} = 13$

---

Statmenumas

Du vektoriai $\vec{a}$ ir $\vec{b}$ yra statmeni (žymima $\vec{a} \perp \vec{b}$), jei kampas tarp jų lygus $90°$.

Kadangi $\cos 90° = 0$, tai:

$\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \iff x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$

Pavyzdys 4: Ar vektoriai $\vec{a} = (3;\; 4)$ ir $\vec{b} = (8;\; -6)$ statmeni?

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 8 + 4 \cdot (-6) = 24 - 24 = 0$

Taip, $\vec{a} \perp \vec{b}$.

Pavyzdys 5: Raskite $y$, jei vektoriai $\vec{a} = (2;\; y)$ ir $\vec{b} = (6;\; -4)$ statmeni.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \implies 2 \cdot 6 + y \cdot (-4) = 0 \implies 12 - 4y = 0 \implies y = 3$

---

Kampas tarp vektorių

Iš abiejų apibrėžimų gauname formulę kampui tarp vektorių rasti:

$\cos \varphi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$

Kampas randamas: $\varphi = \arccos\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\right)$

Pavyzdys 6: Raskite kampą tarp vektorių $\vec{a} = (1;\; 0)$ ir $\vec{b} = (1;\; 1)$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 1$

$|\vec{a}| = 1, \quad |\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

$\cos \varphi = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\varphi = 45°$

Pavyzdys 7: Raskite kampą tarp vektorių $\vec{a} = (3;\; 4)$ ir $\vec{b} = (-4;\; 3)$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot (-4) + 4 \cdot 3 = -12 + 12 = 0$

$\cos \varphi = 0 \implies \varphi = 90°$

Vektoriai statmeni!

---

Vektoriaus projekcija

Vektoriaus $\vec{a}$ projekcija ant vektoriaus $\vec{b}$ – tai skaičius:

$\text{pr}_{\vec{b}}\, \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$

Jei projekcija teigiama – vektoriai sudaro smailų kampą, jei neigiama – bukąjį.

Pavyzdys 8: Raskite vektoriaus $\vec{a} = (5;\; 1)$ projekciją ant $\vec{b} = (3;\; 4)$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \cdot 3 + 1 \cdot 4 = 19$

$|\vec{b}| = \sqrt{9 + 16} = 5$

$\text{pr}_{\vec{b}}\, \vec{a} = \frac{19}{5} = 3{,}8$

---

Kampo trikampyje radimas

Turint trikampio viršūnes, galima rasti bet kurį jo kampą.

Pavyzdys 9: Trikampio viršūnės $A(1;\; 1)$, $B(4;\; 5)$, $C(7;\; 2)$. Raskite kampą $A$.

Sudarome vektorius iš viršūnės $A$:

$\overrightarrow{AB} = (4-1;\; 5-1) = (3;\; 4)$

$\overrightarrow{AC} = (7-1;\; 2-1) = (6;\; 1)$

Skaliarinė sandauga:

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 3 \cdot 6 + 4 \cdot 1 = 18 + 4 = 22$

Ilgiai:

$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{9 + 16} = 5, \quad |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{36 + 1} = \sqrt{37}$

Kampas:

$\cos A = \frac{22}{5\sqrt{37}} = \frac{22}{5 \cdot 6{,}083} \approx \frac{22}{30{,}41} \approx 0{,}723$

$A = \arccos(0{,}723) \approx 43{,}7°$

Pavyzdys 10: Trikampio viršūnės $A(0;\; 0)$, $B(6;\; 0)$, $C(3;\; 3)$. Patikrinkite, ar trikampis stačiasis.

$\overrightarrow{BA} = (-6;\; 0), \quad \overrightarrow{BC} = (-3;\; 3)$

$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = (-6)(-3) + 0 \cdot 3 = 18 \neq 0$

Kampas prie $B$ nėra $90°$. Tikrinkime kampą prie $C$:

$\overrightarrow{CA} = (-3;\; -3), \quad \overrightarrow{CB} = (3;\; -3)$

$\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = (-3)(3) + (-3)(-3) = -9 + 9 = 0$

Kampas prie $C$ lygus $90°$ – tai stačiasis trikampis.

Savarankiško darbo užduotys

1. Apskaičiuokite skaliarinę sandaugą $\vec{a} \cdot \vec{b}$, kai $\vec{a} = (7;\; -2)$ ir $\vec{b} = (3;\; 5)$.

2. Patikrinkite, ar vektoriai $\vec{a} = (5;\; -3)$ ir $\vec{b} = (6;\; 10)$ yra statmeni.

3. Raskite kampą tarp vektorių $\vec{a} = (1;\; \sqrt{3})$ ir $\vec{b} = (\sqrt{3};\; 1)$.

4. Raskite $x$ reikšmę, jei $\vec{a} = (x;\; 3)$ ir $\vec{b} = (4;\; -8)$ yra statmeni.

5. Apskaičiuokite $|\vec{a}|$, jei $\vec{a} = (-7;\; 24)$.

6. Trikampio viršūnės $A(2;\; 1)$, $B(6;\; 3)$, $C(4;\; 7)$. Raskite kampą $B$.

7. Raskite vektoriaus $\vec{a} = (4;\; 3)$ projekciją ant vektoriaus $\vec{b} = (1;\; 0)$.

8. Duoti vektoriai $\vec{a} = (2;\; 1)$ ir $\vec{b} = (-1;\; 3)$. Raskite kampą tarp vektorių $\vec{a} + \vec{b}$ ir $\vec{a} - \vec{b}$.

9. Patikrinkite, ar trikampis su viršūnėmis $A(1;\; 3)$, $B(5;\; 1)$, $C(3;\; 7)$ yra stačiasis.

10. Vektoriaus $\vec{a}$ ilgis lygus 5, o vektoriaus $\vec{b}$ ilgis lygus 8. Kampas tarp jų $60°$. Apskaičiuokite $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ir $|\vec{a} + \vec{b}|$.