Racionaliosios ir iracionaliosios lygtys

Mokymosi tikslai

Baigę šią pamoką gebėsite:

paaiškinti temą „Racionaliosios ir iracionaliosios lygtys“ vartojant taisyklingas matematines sąvokas;
pasirinkti tinkamą formulę ar sprendimo metodą ir pagrįsti jo sąlygas;
išspręsti uždavinį nuosekliai, patikrinti rezultatą ir interpretuoti jį kontekste;

Prisimink

Matematinis sprendimas yra ne vien galutinis skaičius. Pirmiausia įvardykite duomenis ir ieškomą dydį, patikrinkite apibrėžimo sąlygas, pasirinkite metodą, o pabaigoje įstatykite atsakymą į pradinę sąlygą. Jei uždavinys turi matavimo vienetus ar prasminį intervalą, jie yra sprendimo dalis.

Sąvokos

Matematinis modelis – formulė, lygtis, grafikas ar kita struktūra, kuria aprašoma nagrinėjama situacija.
Apibrėžimo sąlyga – apribojimas, nusakantis, kurioms kintamojo reikšmėms reiškinys ir atlikti veiksmai turi prasmę.
Ekvivalentus pertvarkymas – veiksmas, nepakeičiantis sprendinių aibės; jei veiksmas gali pridėti ar pašalinti sprendinių, būtina atskira patikra.
Interpretacija – matematinio rezultato paaiškinimas pradinio uždavinio kalba, išlaikant vienetus ir tikslumą.

Teorija

Racionaliojoje lygtyje kintamasis yra vardiklyje, todėl pirmiausia užrašomos neleistinos reikšmės. Lygtį galima padauginti iš bendrojo vardiklio tik nepamirštant, kad jis negali būti lygus nuliui. Gautos šaknys tikrinamos su apribojimais.

Iracionaliojoje lygtyje kintamasis yra po šaknies ženklu. Lyginė šaknis reikalauja neneigiamo pošakninio reiškinio ir neneigiamos kitos lygties pusės. Keliant abi puses kvadratu gali atsirasti pašalinių sprendinių.

Kai lygtyje yra kelios šaknys, viena šaknis izoliuojama, keliama kvadratu ir veiksmai kartojami. Kiekvienas kandidatas būtinai įstatomas į pradinę lygtį, o ne tik į po pertvarkymų gautą lygtį.

Sprendimo kokybę verta įvertinti dviem nepriklausomais būdais. Algebrinį rezultatą galima patikrinti įstatant jį į pradinę sąlygą, o grafinį ar skaitinį – palyginant su keliomis kontrolinėmis reikšmėmis. Toks patikrinimas padeda pastebėti neteisingą ženklą, pamestą sprendinį, netinkamą intervalo galą ar per anksti suapvalintą reikšmę. Jei skirtingi būdai nesutampa, galutinis atsakymas dar nėra pagrįstas.

Tą patį matematinį ryšį dažnai galima pateikti formule, lentele, grafiku ir žodiniu paaiškinimu. Perėjimas tarp šių vaizdavimo būdų padeda suprasti, ką reiškia parametrai ir kaip kinta rezultatas. Braižant eskizą pažymimi atraminiai taškai, ribos, ženklai ir ypatingos reikšmės; sudarant lentelę pasirenkamos reikšmės abipus svarbių taškų. Sprendime verta trumpai parašyti ne tik ką skaičiuojame, bet ir kodėl pasirinktas veiksmas yra leistinas. Taip atsakymas tampa atkuriamas ir patikrinamas net be skaičiuotuvo.

Pagrindinės formulės

vardiklis\ne0

\sqrt{u}=v\Rightarrow u=v^2,\ v\ge0

\sqrt{u^2}=|u|

Formulėje esantys simboliai turi būti siejami su konkrečiais uždavinio dydžiais. Prieš skaičiuodami patikrinkite, ar visi dydžiai išreikšti suderintais vienetais ir ar tenkinamos formulės taikymo sąlygos.

Nuosekliai išspręstas pavyzdys

Uždavinys. Išspręskite $\sqrt{x+5}=x-1$ .

Dešinė pusė turi būti neneigiama, todėl $x\ge1$ .
Keliame kvadratu: $x+5=(x-1)^2=x^2-2x+1$ .
Gauname $x^2-3x-4=0$ , todėl kandidatai $x=4$ ir $x=-1$ .
Sąlygą tenkina tik $x=4$ ; patikra: $\sqrt9=3$ .

Atsakymas. $x=4$ .

Sprendimo patikrai grįžkite į pradinę sąlygą: įvertinkite ženklą, dydžio eilę, vienetus ir tai, ar atsakymas priklauso leistinai sričiai. Apytikslę reikšmę apvalinkite tik paskutiniame žingsnyje, jei sąlyga nenurodo kitaip.

Dažnos klaidos

Neužrašyti vardiklio nelygybės nuliui.
Pakėlus kvadratu nepatikrinti kandidatų pradinėje lygtyje.
Tapatybę $\sqrt{u^2}=|u|$ pakeisti į $u$ be ženklo sąlygos.

Savarankiška praktika

Spręskite užrašydami tarpinius veiksmus. Atsakymus atsiverskite tik užbaigę pasirinktą užduotį.

Išspręskite $1/x=1/3$ .
Nurodykite neleistiną $2/(x-5)$ reikšmę.
Išspręskite $(x+1)/(x-2)=2$ .
Išspręskite $\sqrt{x}=5$ .
Išspręskite $\sqrt{2x-1}=3$ .
Ar $x=-2$ gali tenkinti $\sqrt{x+3}=x+3$ ?
Kokia $\sqrt{4-x}$ sritis?
Kodėl kandidatas po kėlimo kvadratu gali būti pašalinis?

Atsakymai savitikrai

$x=3$ .
$x=5$ .
$x=5$ .
$x=25$ .
$x=5$ .
Taip: abi pusės lygios 1.
$x\le4$ .
Kėlimas kvadratu panaikina ženklų skirtumą ir nėra ekvivalentiškas be papildomų sąlygų.

Santrauka

Šioje pamokoje išnagrinėjote temą Racionaliosios ir iracionaliosios lygtys. Patikimas darbo algoritmas yra toks: nustatyti sąlygas, pasirinkti modelį, atlikti veiksmus be ankstyvo apvalinimo, patikrinti sprendinį ir tik tada pateikti kontekstinį atsakymą. Jei atsakymas nesuderinamas su pradine sąlyga, reikia taisyti ne galutinį skaičių, o rasti pirmą nepagrįstą sprendimo žingsnį.