egzas.lt logoegzas.lt
Grįžti į temą

Algebrinių reiškinių pertvarkymai

Orientacinė trukmė: ~25 min

Algebrinių reiškinių pertvarkymai

Sutrumpinto dauginimo formulės

Šios formulės labai svarbios suprastinimui:

(a+b)2=a2+2ab+b2\mathbf{(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2} (a−b)2=a2−2ab+b2\mathbf{(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2} (a+b)(a−b)=a2−b2\mathbf{(a + b)(a - b) = a^2 - b^2} a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)\mathbf{a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)} a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)\mathbf{a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)}

Skliaustų atvėrimas

Pavyzdys 1

(3x−2)2=9x2−12x+4(3x - 2)^2 = 9x^2 - 12x + 4

Pavyzdys 2

(x+4)(x−4)=x2−16(x + 4)(x - 4) = x^2 - 16

Pavyzdys 3

(2a+b)2=4a2+4ab+b2(2a + b)^2 = 4a^2 + 4ab + b^2

Skaidymas dauginamaisiais

1. Bendras dauginamasis

6x3−9x2+3x=3x(2x2−3x+1)6x^3 - 9x^2 + 3x = 3x(2x^2 - 3x + 1)

2. Formulių taikymas

25x2−4=(5x+2)(5x−2)25x^2 - 4 = (5x + 2)(5x - 2)

x2+6x+9=(x+3)2x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2

8x3−1=(2x−1)(4x2+2x+1)8x^3 - 1 = (2x - 1)(4x^2 + 2x + 1)

3. Trinomo skaidymas

x2+bx+cx^2 + bx + c – ieškome m ir n: m + n = b, m · n = c

Pavyzdys 4: x2−7x+12=(x−3)(x−4)x^2 - 7x + 12 = (x-3)(x-4), nes –3 + (–4) = –7, 12

Pavyzdys 5: x2+x−12=(x+4)(x−3)x^2 + x - 12 = (x+4)(x-3), nes 4 + (–3) = 1, (–12)

Algebrinės trupmenos

Suprastinimas

Skaidome skaitiklį ir vardiklį, tada trumpiname bendruosius dauginamuosius.

Pavyzdys 6:

x2−9x+3=(x−3)(x+3)x+3=x−3(x≠−3)\frac{x^2 - 9}{x + 3} = \frac{(x-3)(x+3)}{x+3} = x - 3 \quad (x \neq -3)

Pavyzdys 7:

2x2+4xx2−4=2x(x+2)(x+2)(x−2)=2xx−2(x≠−2)\frac{2x^2 + 4x}{x^2 - 4} = \frac{2x(x+2)}{(x+2)(x-2)} = \frac{2x}{x-2} \quad (x \neq -2)

Sudėjimas ir atimtis

Pavyzdys 8:

3x−1+2x+1=3(x+1)+2(x−1)(x−1)(x+1)=5x+1x2−1\frac{3}{x-1} + \frac{2}{x+1} = \frac{3(x+1) + 2(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{5x+1}{x^2-1}

Daugyba ir dalyba

Pavyzdys 9:

x2−4x⋅3xx−2=(x+2)(x−2)⋅3xx(x−2)=3(x+2)\frac{x^2-4}{x} \cdot \frac{3x}{x-2} = \frac{(x+2)(x-2) \cdot 3x}{x(x-2)} = 3(x+2)

Reiškinių reikšmė

Pavyzdys 10

Apskaičiuokite a2−b2a+b\frac{a^2 - b^2}{a + b}, kai a = 7, b = 3.

=(a+b)(a−b)a+b=a−b=7−3=4= \frac{(a+b)(a-b)}{a+b} = a - b = 7 - 3 = \mathbf{4}

Pavyzdys 11

Raskite (x+y)2−2xy(x + y)^2 - 2xy reikšmę, jei x + y = 5 ir xy = 6.

(x+y)2−2xy=25−12=13(x + y)^2 - 2xy = 25 - 12 = \mathbf{13}

(Pastaba: tai lygus x2+y2x^2 + y^2)

Savarankiško darbo užduotys

  1. Išskleiskite: (2x+3)2(2x + 3)^2
  2. Išskleiskite: (5x−1)(5x+1)(5x - 1)(5x + 1)
  3. Išskleiskite dauginamaisiais: 9x2−6x+19x^2 - 6x + 1
  4. Išskleiskite dauginamaisiais: 4a2−25b24a^2 - 25b^2
  5. Išskleiskite dauginamaisiais: x2−3x−18x^2 - 3x - 18
  6. Suprastinkite: x2−25x−5\frac{x^2-25}{x-5}
  7. Suprastinkite: 3x2+9xx2−9\frac{3x^2+9x}{x^2-9}
  8. Sudėkite: 2x+3x−1\frac{2}{x} + \frac{3}{x-1}
  9. Apskaičiuokite x2+y2x^2 + y^2, jei x + y = 10, xy = 21.
  10. Apskaičiuokite a2+b2+2ab−(a−b)2a^2 + b^2 + 2ab - (a-b)^2 suprastinę reiškinį.