Tiesinės lygtys ir sistemos

Tiesinė lygtis

Tiesinė lygtis – tai lygtis, kurioje nežinomasis x yra pirmojo laipsnio. Bendroji forma:

$ax + b = 0, \quad a \neq 0$

Sprendimas:

$x = -\frac{b}{a}$

Sprendimo žingsniai:

Perkelkite narius su x į vieną pusę, skaičius – į kitą
Suskliaudinkite x ir padalinkite abi puses iš koeficiento prie x
Patikrinkite atsakymą, įstatydami jį atgal į pradinę lygtį

Pavyzdys 1

$3x + 9 = 0$

$3x = -9$

$x = -\frac{9}{3} = \mathbf{-3}$

Patikra: $3 \cdot (-3) + 9 = -9 + 9 = 0$ ✓

Pavyzdys 2

$5x - 3 = 2x + 12$

Perkeliame narius su x į kairę, skaičius – į dešinę:

$5x - 2x = 12 + 3$

$3x = 15$

$x = \mathbf{5}$

Lygtys su skliaustais

Kai lygtis turi skliaustus, pirmiausia juos atidarome (padauginame).

Pavyzdys 3

$4(x - 2) = 3(x + 1) + 5$

Atidarome skliaustus:

$4x - 8 = 3x + 3 + 5$

$4x - 8 = 3x + 8$

$4x - 3x = 8 + 8$

$x = \mathbf{16}$

Patikra: $4(16 - 2) = 4 \cdot 14 = 56$ ; $3(16 + 1) + 5 = 51 + 5 = 56$ ✓

Lygtys su trupmenomis

Kai lygtis turi trupmenas, abi puses dauginame iš bendrojo vardiklio (BV).

Pavyzdys 4

$\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 5$

BV(2, 3) = 6. Dauginame visą lygtį iš 6:

$3x + 2x = 30$

$5x = 30$

$x = \mathbf{6}$

Patikra: $\frac{6}{2} + \frac{6}{3} = 3 + 2 = 5$ ✓

Pavyzdys 5

$\frac{2x - 1}{4} = \frac{x + 3}{6}$

BV(4, 6) = 12. Dauginame iš 12:

$3(2x - 1) = 2(x + 3)$

$6x - 3 = 2x + 6$

$4x = 9$

$x = \mathbf{\frac{9}{4} = 2{,}25}$

Dviejų tiesinių lygčių sistema

Sistema – tai dvi lygtys su dviem nežinomaisiais x ir y, kurias reikia tenkinti vienu metu:

$\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$

Keitimo (substitucijos) metodas

Žingsniai:

Iš vienos lygties išreiškiame vieną kintamąjį per kitą
Įstatome į kitą lygtį
Išsprendžiame gautą lygtį
Randame antrą kintamąjį

Pavyzdys 6

$\begin{cases} x + y = 7 \\ 2x - y = 5 \end{cases}$

Iš pirmos lygties: $y = 7 - x$

Įstatome į antrąją:

$2x - (7 - x) = 5$

$2x - 7 + x = 5$

$3x = 12$

$x = 4$

Randame y: $y = 7 - 4 = 3$

Atsakymas: $x = \mathbf{4}$ , $y = \mathbf{3}$

Patikra: $4 + 3 = 7$ ✓; $2 \cdot 4 - 3 = 5$ ✓

Sudėties (eliminavimo) metodas

Žingsniai:

Paruošiame lygtis taip, kad vieno kintamojo koeficientai būtų priešingi
Sudedame lygtis (vienas kintamasis „dingsta")
Išsprendžiame likusią lygtį
Randame antrą kintamąjį

Pavyzdys 7

$\begin{cases} 3x + 2y = 16 \\ x - 2y = 0 \end{cases}$

Koeficientai prie y jau priešingi (+2 ir -2). Sudedame:

$3x + 2y + x - 2y = 16 + 0$

$4x = 16$

$x = 4$

Iš antros lygties: $4 - 2y = 0 \Rightarrow y = 2$

Atsakymas: $x = \mathbf{4}$ , $y = \mathbf{2}$

Pavyzdys 8

$\begin{cases} 2x + 3y = 13 \\ 4x - y = 5 \end{cases}$

Antrąją lygtį dauginame iš 3: $12x - 3y = 15$

Sudedame su pirmąja:

$2x + 3y + 12x - 3y = 13 + 15$

$14x = 28$

$x = 2$

Iš antros lygties: $4 \cdot 2 - y = 5 \Rightarrow y = 3$

Atsakymas: $x = \mathbf{2}$ , $y = \mathbf{3}$

Tekstiniai uždaviniai

Tekstiniuose uždaviniuose reikia pačiam sudaryti lygčių sistemą iš sąlygos.

Pavyzdys 9

Dviejų skaičių suma lygi 25, o jų skirtumas – 7. Raskite šiuos skaičius.

Pažymime skaičius x ir y. Sudarome sistemą:

$\begin{cases} x + y = 25 \\ x - y = 7 \end{cases}$

Sudedame lygtis: $2x = 32 \Rightarrow x = 16$

Tada $y = 25 - 16 = 9$

Atsakymas: skaičiai yra 16 ir 9.

Pavyzdys 10

Bilietai į kiną: suaugusiojo – x eurų, vaiko – y eurų. 2 suaugusieji ir 3 vaikai sumokėjo 26 €. 1 suaugusysis ir 4 vaikai – 22 €. Kiek kainuoja kiekvienas bilietas?

$\begin{cases} 2x + 3y = 26 \\ x + 4y = 22 \end{cases}$

Iš antros lygties: $x = 22 - 4y$ . Įstatome į pirmą:

$2(22 - 4y) + 3y = 26$

$44 - 8y + 3y = 26$

$-5y = -18$

$y = 3{,}6$

$x = 22 - 4 \cdot 3{,}6 = 22 - 14{,}4 = 7{,}6$

Atsakymas: suaugusiojo bilietas – 7,60 €, vaiko – 3,60 €

Savarankiško darbo užduotys

Išspręskite: $7x - 5 = 2x + 15$
Išspręskite: $3(x + 4) = 2(x - 1) + 20$
Išspręskite: $\frac{x}{3} + \frac{x}{4} = 7$
Išspręskite: $\frac{3x + 1}{5} = \frac{2x - 3}{3}$
Išspręskite sistemą keitimo metodu: $\begin{cases} y = 2x - 1 \\ 3x + y = 14 \end{cases}$
Išspręskite sistemą sudėties metodu: $\begin{cases} 5x + 2y = 24 \\ 3x - 2y = 8 \end{cases}$
Išspręskite sistemą: $\begin{cases} 3x + 4y = 18 \\ 2x - y = 1 \end{cases}$
Dviejų skaičių suma lygi 40, vienas skaičius 3 kartus didesnis už kitą. Raskite skaičius.
Petras nupirko 3 sąsiuvinius ir 2 pieštukus už 5,40 €. Jonas – 1 sąsiuvinį ir 4 pieštukus už 3,80 €. Kiek kainuoja sąsiuvinis ir kiek pieštukas?
Dviejų skaičių suma yra 50. Jei pirmąjį skaičių padaugintume iš 2 ir pridėtume antrąjį, gautume 80. Raskite abu skaičius.