Kvadratinės lygtys

Kvadratinės lygtys

Bendroji forma

Kvadratinė lygtis – tai lygtis, kurioje didžiausias nežinomojo laipsnis yra 2:

$ax^2 + bx + c = 0, \quad a \neq 0$

Koeficientai:

• $a$ – koeficientas prie $x^2$ (vyresnysis)
• $b$ – koeficientas prie $x$
• $c$ – laisvasis narys

Pavyzdys 1

Lygtis $2x^2 - 5x + 3 = 0$: $a = 2$, $b = -5$, $c = 3$

Lygtis $x^2 + 4x = 0$: $a = 1$, $b = 4$, $c = 0$

---

Diskriminantas

Diskriminantas parodo, kiek sprendinių turi lygtis:

$D = b^2 - 4ac$

---

Sprendimo formulė

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

Sprendimo žingsniai:

1. Nustatykite $a$, $b$, $c$
2. Apskaičiuokite $D = b^2 - 4ac$
3. Jei $D \geq 0$, taikykite formulę
4. Patikrinkite atsakymą

Pavyzdys 2

$x^2 - 6x + 5 = 0$

$a = 1$, $b = -6$, $c = 5$

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16 > 0$

$x_1 = \frac{6 + \sqrt{16}}{2} = \frac{6 + 4}{2} = \mathbf{5}$

$x_2 = \frac{6 - \sqrt{16}}{2} = \frac{6 - 4}{2} = \mathbf{1}$

Patikra: $5^2 - 6 \cdot 5 + 5 = 25 - 30 + 5 = 0$ ✓

Pavyzdys 3

$2x^2 + 4x - 6 = 0$

$a = 2$, $b = 4$, $c = -6$

$D = 16 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 16 + 48 = 64$

$x_1 = \frac{-4 + 8}{4} = \mathbf{1}, \quad x_2 = \frac{-4 - 8}{4} = \mathbf{-3}$

Pavyzdys 4 (D = 0)

$x^2 - 8x + 16 = 0$

$D = 64 - 64 = 0$

$x = \frac{8}{2} = \mathbf{4}$

Lygtis turi vieną (dvigubą) šaknį.

Pavyzdys 5 (D < 0)

$x^2 + 2x + 5 = 0$

$D = 4 - 20 = -16 < 0$

Realiųjų sprendinių nėra.

---

Nepilnosios kvadratinės lygtys

Kai trūksta vieno ar dviejų narių, galima spręsti paprasčiau.

Tipas $ax^2 + c = 0$ (kai $b = 0$)

$x^2 = -\frac{c}{a}$

Jei $-c/a > 0$, tai $x = \pm\sqrt{-c/a}$. Jei $-c/a < 0$ – sprendinių nėra.

Pavyzdys 6

$x^2 - 25 = 0$

$x^2 = 25$

$x = \pm 5$

Atsakymas: $x_1 = \mathbf{5}$, $x_2 = \mathbf{-5}$

Tipas $ax^2 + bx = 0$ (kai $c = 0$)

Iškeliame x prieš skliaustus:

$x(ax + b) = 0$

$x = 0 \quad \text{arba} \quad x = -\frac{b}{a}$

Pavyzdys 7

$3x^2 - 12x = 0$

$3x(x - 4) = 0$

$x = \mathbf{0} \quad \text{arba} \quad x = \mathbf{4}$

---

Vijeto (Vieta) teorema

Jei $x_1$ ir $x_2$ yra lygties $ax^2 + bx + c = 0$ šaknys, tai:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Specialusis atvejis (kai $a = 1$, t. y. $x^2 + px + q = 0$):

$x_1 + x_2 = -p, \quad x_1 \cdot x_2 = q$

Pavyzdys 8

$x^2 - 7x + 12 = 0$. Patikrinkime, ar šaknys 3 ir 4:

• $3 + 4 = 7 = -(-7)$ ✓
• $3 \cdot 4 = 12$ ✓

Taip, 3 ir 4 yra šios lygties šaknys.

Pavyzdys 9 – lygties sudarymas pagal šaknis

Šaknys: $x_1 = -2$, $x_2 = 5$. Sudarykite lygtį.

$x_1 + x_2 = -2 + 5 = 3, \quad \text{vadinasi } p = -3$

$x_1 \cdot x_2 = (-2) \cdot 5 = -10, \quad \text{vadinasi } q = -10$

$\mathbf{x^2 - 3x - 10 = 0}$

---

Tekstinis uždavinys

Pavyzdys 10

Stačiakampio plotas 84 m². Ilgis 5 metrais didesnis už plotį. Raskite stačiakampio matmenis.

Pažymime plotį $x$ (m). Tada ilgis $x + 5$.

$x(x + 5) = 84$

$x^2 + 5x - 84 = 0$

$D = 25 + 336 = 361$

$x_1 = \frac{-5 + 19}{2} = 7, \quad x_2 = \frac{-5 - 19}{2} = -12$

Plotis negali būti neigiamas, todėl $x = 7$.

Atsakymas: plotis 7 m, ilgis 12 m.

---

Savarankiško darbo užduotys

1. Išspręskite: $x^2 - 5x + 6 = 0$
2. Išspręskite: $2x^2 + 7x - 4 = 0$
3. Išspręskite: $x^2 + 4x + 4 = 0$
4. Ar turi realiųjų sprendinių: $x^2 - 3x + 10 = 0$?
5. Išspręskite: $4x^2 - 36 = 0$
6. Išspręskite: $5x^2 + 15x = 0$
7. Naudodami Vijeto teoremą, patikrinkite, ar 2 ir 6 yra lygties $x^2 - 8x + 12 = 0$ šaknys.
8. Sudarykite kvadratinę lygtį, kurios šaknys yra 3 ir $-4$.
9. Skaičiaus kvadratas yra 5 kartus didesnis už patį skaičių. Raskite tą skaičių.
10. Sodo aikštelės plotas 96 m². Jos ilgis 4 m didesnis už plotį. Raskite aikštelės matmenis.