Funkcijų transformacijos, laipsninės ir šaknies funkcijos

Mokymosi tikslai

Baigę šią pamoką gebėsite:

paaiškinti temą „Funkcijų transformacijos, laipsninės ir šaknies funkcijos“ vartojant taisyklingas matematines sąvokas;
pasirinkti tinkamą formulę ar sprendimo metodą ir pagrįsti jo sąlygas;
išspręsti uždavinį nuosekliai, patikrinti rezultatą ir interpretuoti jį kontekste;

Prisimink

Matematinis sprendimas yra ne vien galutinis skaičius. Pirmiausia įvardykite duomenis ir ieškomą dydį, patikrinkite apibrėžimo sąlygas, pasirinkite metodą, o pabaigoje įstatykite atsakymą į pradinę sąlygą. Jei uždavinys turi matavimo vienetus ar prasminį intervalą, jie yra sprendimo dalis.

Sąvokos

Matematinis modelis – formulė, lygtis, grafikas ar kita struktūra, kuria aprašoma nagrinėjama situacija.
Apibrėžimo sąlyga – apribojimas, nusakantis, kurioms kintamojo reikšmėms reiškinys ir atlikti veiksmai turi prasmę.
Ekvivalentus pertvarkymas – veiksmas, nepakeičiantis sprendinių aibės; jei veiksmas gali pridėti ar pašalinti sprendinių, būtina atskira patikra.
Interpretacija – matematinio rezultato paaiškinimas pradinio uždavinio kalba, išlaikant vienetus ir tikslumą.

Teorija

Funkcijos grafiką galima transformuoti keičiant argumentą arba reikšmę. $f(x-h)+k$ perkelia grafiką per vektorių $(h;k)$ , $-f(x)$ atspindi į $x$ ašį, o $f(-x)$ – į $y$ ašį. Koeficientai keičia vertikalų ar horizontalų mastelį.

Laipsninės funkcijos $x^p$ savybės priklauso nuo rodiklio. Teigiamas lyginis sveikasis rodiklis duoda lyginę funkciją, teigiamas nelyginis – nelyginę. Neigiamas rodiklis reiškia atvirkštinį dydį, todėl dažnai $x=0$ nepriklauso apibrėžimo sričiai.

Šaknies funkcija yra atitinkamos laipsninės funkcijos atvirkštinė apribotoje srityje. Funkcijai $\sqrt{x}$ reikia $x\ge0$ , o kubinė šaknis apibrėžta visiems realiesiems skaičiams. Apibrėžimo sritis nustatoma prieš atliekant kitus veiksmus.

Sprendimo kokybę verta įvertinti dviem nepriklausomais būdais. Algebrinį rezultatą galima patikrinti įstatant jį į pradinę sąlygą, o grafinį ar skaitinį – palyginant su keliomis kontrolinėmis reikšmėmis. Toks patikrinimas padeda pastebėti neteisingą ženklą, pamestą sprendinį, netinkamą intervalo galą ar per anksti suapvalintą reikšmę. Jei skirtingi būdai nesutampa, galutinis atsakymas dar nėra pagrįstas.

Tą patį matematinį ryšį dažnai galima pateikti formule, lentele, grafiku ir žodiniu paaiškinimu. Perėjimas tarp šių vaizdavimo būdų padeda suprasti, ką reiškia parametrai ir kaip kinta rezultatas. Braižant eskizą pažymimi atraminiai taškai, ribos, ženklai ir ypatingos reikšmės; sudarant lentelę pasirenkamos reikšmės abipus svarbių taškų. Sprendime verta trumpai parašyti ne tik ką skaičiuojame, bet ir kodėl pasirinktas veiksmas yra leistinas. Taip atsakymas tampa atkuriamas ir patikrinamas net be skaičiuotuvo.

Pagrindinės formulės

g(x)=af(b(x-h))+k

x^{-n}=1/x^n

\sqrt{x^2}=|x|

D(\sqrt{u(x)})=\{x:u(x)\ge0\}

Formulėje esantys simboliai turi būti siejami su konkrečiais uždavinio dydžiais. Prieš skaičiuodami patikrinkite, ar visi dydžiai išreikšti suderintais vienetais ir ar tenkinamos formulės taikymo sąlygos.

Nuosekliai išspręstas pavyzdys

Uždavinys. Ištirkite $g(x)=-\sqrt{x-2}+3$ : nurodykite sritį, pradžios tašką ir transformacijas.

Po šaknimi reikia $x-2\ge0$ , todėl $D=[2;+\infty)$ .
Grafikas $\sqrt{x}$ perkeliamas 2 į dešinę.
Minusas atspindi į $x$ ašį, o +3 pakelia 3 aukštyn.
Pradžios taškas $(0;0)$ tampa $(2;3)$ .

Atsakymas. $D=[2;+\infty)$ , pradžios taškas $(2;3)$ , funkcija mažėja.

Sprendimo patikrai grįžkite į pradinę sąlygą: įvertinkite ženklą, dydžio eilę, vienetus ir tai, ar atsakymas priklauso leistinai sričiai. Apytikslę reikšmę apvalinkite tik paskutiniame žingsnyje, jei sąlyga nenurodo kitaip.

Dažnos klaidos

$f(x-h)$ poslinkį nukreipti į kairę.
Rašyti $\sqrt{x^2}=x$ visiems realiesiems $x$ vietoje $|x|$ .
Neigiamam laipsniui palikti $x=0$ apibrėžimo srityje.

Savarankiška praktika

Spręskite užrašydami tarpinius veiksmus. Atsakymus atsiverskite tik užbaigę pasirinktą užduotį.

Kur perkeliamas $f(x+4)-2$ grafikas?
Ar $f(x)=x^6$ yra lyginė?
Ar $f(x)=x^5$ yra nelyginė?
Kokia $1/x^3$ apibrėžimo sritis?
Kokia $\sqrt{5-x}$ apibrėžimo sritis?
Apskaičiuokite $\sqrt{(-7)^2}$ .
Nurodykite $y=(x-1)^4+2$ minimumo tašką.
Kokia yra $\sqrt[3]{x}$ reikšmių sritis?

Atsakymai savitikrai

4 į kairę ir 2 žemyn.
Taip.
Taip.
$\mathbb R\setminus\{0\}$ .
$x\le5$ .
$(1;2)$ .
Visi realieji skaičiai.

Santrauka

Šioje pamokoje išnagrinėjote temą Funkcijų transformacijos, laipsninės ir šaknies funkcijos. Patikimas darbo algoritmas yra toks: nustatyti sąlygas, pasirinkti modelį, atlikti veiksmus be ankstyvo apvalinimo, patikrinti sprendinį ir tik tada pateikti kontekstinį atsakymą. Jei atsakymas nesuderinamas su pradine sąlyga, reikia taisyti ne galutinį skaičių, o rasti pirmą nepagrįstą sprendimo žingsnį.