Funkcijų savybės

Funkcijų savybės

Kas yra funkcija?

Funkcija – tai priklausomybė, kai kiekvienai x reikšmei (iš apibrėžimo srities) atitinka lygiai viena y reikšmė.

Žymima: f(x) arba y = f(x).

Apibrėžimo sritis (D arba Df)

Apibrėžimo sritis – visų x reikšmių, kurioms funkcija apibrėžta, aibė.

Apribojimai:

• Vardiklyje – negalima dalinti iš 0
• Po šaknimi – negalima neigiamas skaičius (lyginė šaknis)

Pavyzdys 1

$f(x) = \frac{1}{x-3}$ – apibrėžimo sritis: x ≠ 3, t.y. (–∞; 3) ∪ (3; +∞)

Pavyzdys 2

$f(x) = \sqrt{x+5}$ – reikia: x + 5 ≥ 0 → x ≥ –5, t.y. [–5; +∞)

Pavyzdys 3

$f(x) = \frac{\sqrt{x-1}}{x+2}$ – reikia: x ≥ 1 ir x ≠ –2 → Df = [1; +∞)

Reikšmių sritis (E arba Ef)

Reikšmių sritis – visos galimos y reikšmės.

Pavyzdžiai

• $y = x$ → Ef = (–∞; +∞)
• $y = x^2$ → Ef = [0; +∞) (y visada ≥ 0)
• $y = x^2 - 4$ → Ef = [–4; +∞)
• $y = -x^2 + 9$ → Ef = (–∞; 9]

Monotoniškumas

Didėjanti funkcija – kai x didėja, y didėja.

Mažėjanti funkcija – kai x didėja, y mažėja.

Pavyzdys 4

y = 2x + 1: kryptingumo koef. k = 2 > 0 → didėja visoje srityje.

Pavyzdys 5

y = x² – 4x + 3 (viršūnė x = 2):

• Mažėja: (–∞; 2)
• Didėja: (2; +∞)

Pavyzdys 6

y = –x²: didėja (–∞; 0), mažėja (0; +∞)

Ekstremumai

Minimumas – mažiausia lokali reikšmė (parabolė aukštyn – globalus min.)

Maksimumas – didžiausia lokali reikšmė

Pavyzdys 7

f(x) = x² – 6x + 7:

Viršūnė: x = 3, y = 9 – 18 + 7 = –2

Minimumas: f(3) = –2

Grafikų skaitymas

Ką galima nustatyti iš grafiko?

• Apibrėžimo sritį (horizontalus x ribas)
• Reikšmių sritį (vertikalus y ribas)
• Didėjimo/mažėjimo intervalus
• Ekstremumus (aukščiausios ir žemiausios vietos)
• Šaknis (susikirtimas su x ašimi)
• y kirtimą (y ašies kirtimas)
• Taškus, kur f(x) > 0 arba < 0

Lyginės ir nelyginės funkcijos

Lyginė funkcija: f(–x) = f(x) (simetrija y ašies atžvilgiu)

Nelyginė funkcija: f(–x) = –f(x) (simetrija per pradžią)

Pavyzdžiai:

• y = x² – lyginė: (–x)² = x²
• y = x³ – nelyginė: (–x)³ = –x³
• y = x + 1 – nei lyginė, nei nelyginė

Savarankiško darbo užduotys

1. Raskite apibrėžimo sritį: $f(x) = \frac{3}{x+4}$
2. Raskite apibrėžimo sritį: $f(x) = \sqrt{2x-6}$
3. Kokia reikšmių sritis: y = 3x + 5?
4. Kokia reikšmių sritis: y = –x² + 4?
5. Kuriuose intervaluose didėja/mažėja f(x) = –2x² + 8x – 1?
6. Raskite maksimumą/minimumą: f(x) = x² + 4x + 4.
7. Ar f(x) = x⁴ – 3x² lyginė ar nelyginė?
8. Iš grafiko nustatykite: kur funkcija teigiama, kur neigiama.
9. Raskite f(2) ir f(–2), kai f(x) = 2x³ – x. Ar nelyginė?
10. Raskite funkcijos y = |x| – 2 reikšmių sritį.