Laipsniai ir šaknys

Laipsniai ir šaknys

Laipsniai: pagrindinės taisyklės

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ $(ab)^n = a^n b^n$ $a^0 = 1 \quad (a \neq 0)$ $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

Pavyzdys 1

$3^4 \cdot 3^{-2} = 3^2 = 9$

$\frac{2^5}{2^3} = 2^2 = 4$

$(x^3)^2 = x^6$

Kvadratinė šaknis

$\sqrt{a} = b \Leftrightarrow b^2 = a, \quad b \geq 0$

Taisyklės:

$\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$

$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

$(\sqrt{a})^2 = a$

Pavyzdys 2

$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$

$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$

Šaknų suprastinimas

Pavyzdys 3

$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}} = \sqrt{4} = 2$

$\sqrt{12} + \sqrt{27} = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$

$\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5$

$(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 3 - 2 = 1$

Racionalizavimas

Šalinti šaknį iš vardiklio:

$\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a}$

Pavyzdys 4

$\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$

$\frac{1}{\sqrt{2}+1} = \frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{\sqrt{2}-1}{2-1} = \sqrt{2}-1$

Laipsniai su trupmeniniais rodikliais

$a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$

$a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m$

Pavyzdys 5

$16^{1/2} = \sqrt{16} = 4$

$8^{1/3} = \sqrt[3]{8} = 2$

$27^{2/3} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9$

$4^{3/2} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$

Pavyzdys 6

Suprastinkite: $x^{3/2} \cdot x^{1/2}$

$x^{3/2 + 1/2} = x^2$

Praktiniai pavyzdžiai

Pavyzdys 7

Kvadrato plotas 50 cm². Kraštinė?

$a = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07 \text{ cm}$

Pavyzdys 8

Skaičiavimas: $\sqrt{2} \approx 1{,}414$. Apskaičiuokite $\sqrt{8}$ be skaičiuotuvo.

$\sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2 \times 1{,}414 = 2{,}828$

Savarankiško darbo užduotys

1. Apskaičiuokite: $2^5$, $3^{-2}$, $4^{1/2}$
2. Suprastinkite: $x^3 \cdot x^{-1}$
3. Suprastinkite: $\frac{a^4}{a^2}$
4. Suprastinkite: $\sqrt{45}$
5. Suprastinkite: $\sqrt{8} + \sqrt{32}$
6. Padauginkite: $\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}$
7. Suprastinkite: $(2\sqrt{3})^2$
8. Racionalizuokite: $\frac{5}{\sqrt{5}}$
9. Apskaičiuokite: $(\sqrt{7} + \sqrt{3})(\sqrt{7} - \sqrt{3})$
10. Apskaičiuokite: $8^{2/3} + 9^{1/2}$