Proporcijos ir proporcingumas

Proporcijos ir proporcingumas

Proporcija

Proporcija – lygybė tarp dviejų santykių:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \quad \text{arba} \quad a : b = c : d$

Pagrindinė savybė: Kraštiniai lygūs vidurinių sandaugai:

$a \cdot d = b \cdot c$

Pavyzdys 1

Ar teisinga proporcija: 3 : 4 = 9 : 12?

3 · 12 = 36, 4 · 9 = 36. Taip, teisinga.

Pavyzdys 2

Raskite x: 5 : x = 15 : 12.

5 · 12 = x · 15 → 60 = 15x → x = 4

---

Tiesioginis proporcingumas

y tiesiogiai proporcingas x, jei:

$y = kx \quad (k = \text{const})$

Požymis: $\frac{y}{x} = k = \text{const}$

Grafikas: Tiesė per koordinačių pradžią.

Pavyzdys 3

5 kg obuolių kainuoja 7,50 €. Kiek kainuos 8 kg?

Kaina ir kiekis tiesiogiai proporcingi. k = 7,50/5 = 1,50 €/kg.

8 kg: 8 × 1,50 = 12 €

---

Atvirkštinis proporcingumas

y atvirkščiai proporcingas x, jei:

$y = \frac{k}{x} \quad (k = \text{const})$

Požymis: $x \cdot y = k = \text{const}$

Grafikas: Hiperbola.

Pavyzdys 4

Statybos darbams 6 darbininkai reikalingi 10 dienų. Kiek dienų dirbs 15 darbininkai?

k = 6 × 10 = 60. d = 60/15 = 4 dienos

Pavyzdys 5

Automobilis 300 km nuvažiuoja per 4 val. (v = 75 km/h). Per kiek nuvažiuos 120 km/h?

Laikas ir greitis atvirkščiai proporcingi (tą pačią distanciją).

t = 300/120 = 2,5 val.

---

Masteliai ir žemėlapiai

Mastelis žymimas 1:n (pvz., 1:50 000).

1 cm žemėlapyje = n cm natūroje

Pavyzdys 6

Mastelis 1:25 000. Žemėlapyje 4 cm. Tikrasis atstumas?

4 × 25 000 = 100 000 cm = 1 km

Pavyzdys 7

Mastelis 1:200 000. Tikrasis atstumas 36 km. Žemėlapyje?

36 km = 3 600 000 cm. 3 600 000 / 200 000 = 18 cm

---

Tris dalyba

Dydis dalinamas proporcingai pagal skaičius.

Pavyzdys 8

240 € dalijama tarp A, B, C santykiu 2:3:5. Kiek gauna kiekvienas?

Suma santykių: 2+3+5 = 10.

A: (2/10)·240 = 48 €, B: (3/10)·240 = 72 €, C: (5/10)·240 = 120 €

Patikrinimas: 48 + 72 + 120 = 240 ✓

---

Savarankiško darbo užduotys

1. Ar teisinga: 4 : 6 = 14 : 21?
2. Raskite x: 3 : 7 = x : 28
3. 4 litrai benzino kainuoja 6,20 €. Kiek kainuos 11 litrų?
4. Siuvėja pasiuva 3 marškinius per 6 val. Kiek per 10 val.?
5. 8 katpėdės suėda maisto 12 dienų. 12 katpėdžių – per kiek dienų?
6. Mastelis 1:500. Pastato planą brėžinyje 15 cm. Tikrasis ilgis?
7. 360 € padalinkite santykiu 1:2:3.
8. Ar tiesioginis ar atvirkštinis: važiavimo laikas ir greitis (tą patį kelią)?
9. Mišinys: cementas:smėlis = 1:3. Cementas 150 kg. Kiek smėlio?
10. Receptas 6 asmenims: miltų 250 g. Kiek miltų 10 asmenims?