Tikimybės pagrindai

Tikimybės pagrindai

Pagrindinės sąvokos

• Atsitiktinis bandymas – eksperimentas, kurio rezultatas nežinomas iš anksto
• Baigtinė aibė – galimi rezultatai (erdvė Ω)
• Įvykis A – tam tikrų rezultatų pogrupis

---

Klasikinė tikimybė

Jei visi rezultatai vienodai tikėtini:

$P(A) = \frac{\text{palankūs atvejai}}{\text{visi galimi atvejai}} = \frac{|A|}{|\Omega|}$

Tikimybė visada: $0 \leq P(A) \leq 1$

• P(A) = 0 → neįmanomas įvykis
• P(A) = 1 → tikrasis įvykis

Pavyzdys 1

Metamas kubas (skaičiai 1–6). Kokia tikimybė, kad iškris lyginis skaičius?

Palankūs: – 3 atvejai. Visi: 6.

$P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0{,}5 = 50\%$

Pavyzdys 2

Maišelyje yra 5 raudoni, 3 mėlyni, 2 žali kamuoliukai. Tikimybė ištraukti raudoną?

$P = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

Pavyzdys 3

Kortų kaladėje yra 52 kortos. Tikimybė ištraukti asą?

4 asai iš 52: P = 4/52 = 1/13 ≈ 7,7%

---

Priešingo įvykio tikimybė

$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$

Pavyzdys 4

Tikimybė lyti rytoj – 30%. Tikimybė nelyt?

$P(\text{nelyt}) = 1 - 0{,}30 = \mathbf{0{,}70 = 70\%}$

Pavyzdys 5

Lotėrijoje laimėjimo tikimybė 1/500. Nelaimėjimo tikimybė?

P(nelaimėt) = 1 – 1/500 = 499/500

---

Sudedamoji taisyklė (nesuderinamų įvykių)

Nesuderinamieji įvykiai – abu kartu įvykti negali (A ∩ B = ∅):

$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

Bendras atvejis:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Pavyzdys 6

Kubas. Tikimybė iškrist 3 arba 6?

P(3) = 1/6, P(6) = 1/6. Nesuderinamieji.

P(3 arba 6) = 1/6 + 1/6 = 1/3

---

Sandaugos taisyklė (nepriklausomų įvykių)

Nepriklausomieji įvykiai – vienas neįtakoja kito:

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Pavyzdys 7

Metamas kubas du kartus. Tikimybė abu kartus iškrist šešetui?

$P = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36} \approx 2{,}8\%$

Pavyzdys 8

Moneta metama 3 kartus. Tikimybė visi kartai orelis?

$P = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} = 12{,}5\%$

---

Dažninė tikimybė

Kai negalime skaičiuoti klasikiškai, naudojame eksperimentinius duomenis:

$P(A) \approx \frac{m}{n}$

čia m – palankūs bandymai, n – visi bandymai.

Pavyzdys 9

Iš 400 gamybos detalių 12 brokulių. Tikimybė ištraukti brokulį?

$P \approx \frac{12}{400} = 0{,}03 = 3\%$

---

Savarankiško darbo užduotys

1. Kubas metamas. Tikimybė iškrist skaičiui > 4?
2. Maišelyje 3 raudonos ir 7 juodos kamuoliukų. Tikimybė ištraukti juodą?
3. Tikimybė laimėti rinkimuose 0,65. Nelaimėti?
4. Kortų kaladė 52. Tikimybė ištraukti širdies kortą?
5. Kubas. Tikimybė iškrist nelyginiui arba > 4?
6. Moneta metama 4 kartus. Tikimybė visi – herbas?
7. Kubas metamas du kartus. Tikimybė suma lygi 7?
8. Klasėje 12 berniukų ir 8 mergaitės. Atsitiktinai iškviečiamas mokinys. Tikimybė mergaitė?
9. Iš 200 apklaustų 60 mieliau renkasi arbatą. Tikimybinis įvertis – arbatos mėgėjų dalis?
10. Tikimybė rytas bus saulėtas – 0,6, popietė – 0,7. Ar galima sakyti, kad abu – 0,6·0,7 = 0,42? Kodėl?