Tikimybių pagrindai

Pagrindinės sąvokos

Bandymas (eksperimentas) – veiksmas, kurio rezultatas iš anksto nežinomas (pvz., monetos metimas, kauliuko ridinimas)
Baigtis (elementarusis įvykis) – vienas galimas bandymo rezultatas (pvz., iškrito 3)
Įvykis – tam tikrų baigčių rinkinys (pvz., iškrito lyginis skaičius)
Imties erdvė $\Omega$ – visų galimų baigčių aibė

Pavyzdys 1

Metamas kauliukas. Imties erdvė:

$\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

Įvykis A = „iškrito lyginis skaičius" = $\{2, 4, 6\}$

Klasikinė tikimybė

Kai visos baigtys vienodai tikėtinos, tikimybė skaičiuojama:

$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{\text{palankių baigčių skaičius}}{\text{visų baigčių skaičius}}$

Tikimybės ribos:

$0 \leq P(A) \leq 1$

$P(A) = 0$ → neįmanomas įvykis (pvz., kauliuke iškris 7)
$P(A) = 1$ → tikrasis įvykis (pvz., kauliuke iškris skaičius nuo 1 iki 6)

Pavyzdys 2

Metamas kauliukas. Kokia tikimybė, kad iškris skaičius, didesnis už 4?

Palankios baigtys: $\{5, 6\}$ – 2 baigtys.

Visos baigtys: 6.

$P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0{,}33 = 33\%$

Pavyzdys 3

Maišelyje 4 raudoni, 3 mėlyni ir 2 žali kamuoliukai. Atsitiktinai ištraukiamas vienas. Kokia tikimybė, kad jis bus mėlynas?

Iš viso: $4 + 3 + 2 = 9$ kamuoliukai.

$P(\text{mėlynas}) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

Pavyzdys 4

Moneta metama vieną kartą. Kokia tikimybė, kad iškris herbas?

$\Omega = \{\text{herbas}, \text{skaičius}\}, \quad P(\text{herbas}) = \frac{1}{2} = 0{,}5$

Papildinio (priešingo įvykio) tikimybė

Priešingas įvykis $\bar{A}$ – tai „A neįvyksta". Jo tikimybė:

$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$

Ši formulė labai naudinga, kai paprasčiau skaičiuoti priešingo įvykio tikimybę.

Pavyzdys 5

Tikimybė, kad šiandien lis, yra 0,35. Kokia tikimybė, kad nelis?

$P(\text{nelis}) = 1 - 0{,}35 = \mathbf{0{,}65 = 65\%}$

Pavyzdys 6

Lotėrijoje dalyvauja 200 bilietų, iš jų 15 laimingi. Kokia tikimybė, kad nupirktas bilietas bus nelaimingas?

$P(\text{laimingas}) = \frac{15}{200} = 0{,}075$

$P(\text{nelaimingas}) = 1 - 0{,}075 = \mathbf{0{,}925 = 92{,}5\%}$

Nesuderinamų įvykių sudėties taisyklė

Du įvykiai yra nesuderinami, jei jie negali įvykti vienu metu (pvz., kauliuke negali iškrist ir 3, ir 5 vienu metu).

Nesuderinamų įvykių A ir B tikimybė:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

Pavyzdys 7

Metamas kauliukas. Kokia tikimybė, kad iškris 2 arba 5?

Šie įvykiai nesuderinami (vienu metimu gali iškrist tik vienas skaičius).

$P(2 \text{ arba } 5) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Pavyzdys 8

Maišelyje 5 raudoni, 3 mėlyni, 2 balti kamuoliukai. Kokia tikimybė ištraukti raudoną arba baltą?

$P(\text{raudonas arba baltas}) = \frac{5}{10} + \frac{2}{10} = \frac{7}{10} = \mathbf{0{,}7}$

Praktiniai pavyzdžiai su kortomis

Standartinė kortų kaladė turi 52 kortas: 4 rūšys (širdys ♥, būgnai ♦, kryžiai ♣, vyrai ♠), kiekvienoje 13 kortų (A, 2–10, J, Q, K).

Pavyzdys 9

Atsitiktinai ištraukiama viena korta. Tikimybė, kad ji bus:

a) Tūzas (asas)?

$P(\text{tūzas}) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13} \approx 7{,}7\%$

b) Širdies korta?

$P(\text{širdis}) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4} = 25\%$

c) Ne karalius?

$P(\text{karalius}) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$

$P(\text{ne karalius}) = 1 - \frac{1}{13} = \frac{12}{13} \approx 92{,}3\%$

Kamuoliukų traukimas

Pavyzdys 10

Dėžėje yra 6 balti ir 4 juodi kamuoliukai. Atsitiktinai ištraukiami du kamuoliukai iš eilės (pirmasis negrąžinamas).

a) Tikimybė, kad pirmasis bus baltas:

$P_1 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

b) Tikimybė, kad antrasis taip pat bus baltas (jei pirmasis buvo baltas):

Liko 5 balti ir 4 juodi = 9 kamuoliukai.

$P_2 = \frac{5}{9}$

c) Tikimybė, kad abu bus balti:

$P = \frac{6}{10} \cdot \frac{5}{9} = \frac{30}{90} = \frac{1}{3} \approx 33\%$

Savarankiško darbo užduotys

Metamas kauliukas. Kokia tikimybė, kad iškris skaičius, mažesnis už 3?
Maišelyje 7 raudoni ir 3 žali kamuoliukai. Tikimybė ištraukti žalią?
Moneta metama vieną kartą. Tikimybė, kad iškris skaičius (ne herbas)?
Tikimybė, kad autobusas atvyks laiku, yra 0,82. Kokia tikimybė, kad jis vėluos?
Kortų kaladėje (52 kortos) kokia tikimybė ištraukti dešimtuką?
Metamas kauliukas. Kokia tikimybė, kad iškris 1, 3 arba 5?
Dėžėje 8 raudoni, 5 mėlyni ir 2 geltoni kamuoliukai. Kokia tikimybė, kad atsitiktinai ištrauktas kamuoliukas bus ne geltonas?
Klasėje 15 berniukų ir 10 mergaičių. Atsitiktinai iškviečiamas vienas mokinys. Kokia tikimybė, kad tai bus mergaitė?
Maišelyje 3 balti ir 5 juodi kamuoliukai. Iš eilės traukiami du (negrąžinant). Kokia tikimybė, kad abu bus juodi?
Loterijos bilietų yra 500, iš jų 20 laimingi. Petras nuperka vieną bilietą. Kokia tikimybė, kad jis laimės? O kad nelaimės?