Kampas ir atstumas

Atstumas tarp dviejų taškų

Atstumas tarp taškų $A(x_1;\; y_1)$ ir $B(x_2;\; y_2)$ :

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Pavyzdys 1. Raskite atstumą tarp taškų $A(1;\; 2)$ ir $B(4;\; 6)$ .

d = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

Atstumas nuo taško $P(x_0;\; y_0)$ iki tiesės $ax + by + c = 0$ apskaičiuojamas pagal formulę:

d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}

Ši formulė visada duoda teigiamą rezultatą (arba nulį, jei taškas priklauso tiesei).

Pavyzdys 2. Raskite atstumą nuo taško $P(3;\; -1)$ iki tiesės $4x - 3y + 2 = 0$ .

d = \frac{|4 \cdot 3 + (-3) \cdot (-1) + 2|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|12 + 3 + 2|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{17}{\sqrt{25}} = \frac{17}{5} = 3{,}4

Pavyzdys 3. Raskite atstumą nuo koordinačių pradžios $O(0;\; 0)$ iki tiesės $3x + 4y - 10 = 0$ .

d = \frac{|3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 - 10|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|-10|}{\sqrt{25}} = \frac{10}{5} = 2

Jei tiesė pateikta forma $y = kx + b$ , ją pertvarkome: $kx - y + b = 0$ . Tada $a = k$ , $b_{\text{koef}} = -1$ , $c = b$ .

Pavyzdys 4. Raskite atstumą nuo taško $P(1;\; 5)$ iki tiesės $y = 2x + 3$ .

Pertvarkome: $2x - y + 3 = 0$ , čia $a = 2$ , $b = -1$ , $c = 3$ .

d = \frac{|2 \cdot 1 + (-1) \cdot 5 + 3|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|2 - 5 + 3|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{0}{\sqrt{5}} = 0

Taškas priklauso tiesei!

Dvi lygiagrečios tiesės: $ax + by + c_1 = 0$ ir $ax + by + c_2 = 0$ . Atstumas tarp jų:

d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}

Pavyzdys 5. Raskite atstumą tarp tiesių $3x - 4y + 5 = 0$ ir $3x - 4y - 10 = 0$ .

d = \frac{|5 - (-10)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{15}{\sqrt{25}} = \frac{15}{5} = 3

Jei tiesės turi nuolydžius $k_1$ ir $k_2$ , tai smailusis kampas $\alpha$ tarp jų randamas pagal formulę:

\tan\alpha = \frac{|k_1 - k_2|}{1 + k_1 \cdot k_2}

Ši formulė taikoma, kai $1 + k_1 k_2 \neq 0$ . Jei $1 + k_1 k_2 = 0$ , tiesės yra statmenos ir $\alpha = 90°$ .

Pavyzdys 6. Raskite kampą tarp tiesių $y = 2x + 1$ ir $y = -x + 3$ .

Nuolydžiai: $k_1 = 2$ , $k_2 = -1$ .

\tan\alpha = \frac{|2 - (-1)|}{1 + 2 \cdot (-1)} = \frac{|3|}{1 - 2} = \frac{3}{-1}

Kadangi vardiklis neigiamas, imame absoliutinę reikšmę: $\tan\alpha = 3$ , taigi $\alpha = \arctan 3 \approx 71{,}6°$ .

Pavyzdys 7. Raskite kampą tarp tiesių $y = 3x - 2$ ir $y = \frac{1}{2}x + 4$ .

\tan\alpha = \frac{\left|3 - \frac{1}{2}\right|}{1 + 3 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\frac{5}{2}}{1 + \frac{3}{2}} = \frac{\frac{5}{2}}{\frac{5}{2}} = 1

Taigi $\alpha = 45°$ .

Pavyzdys 8. Ar tiesės $y = 4x + 1$ ir $y = -\frac{1}{4}x - 3$ yra statmenos?

k_1 \cdot k_2 = 4 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) = -1

Taip, tiesės yra statmenos (kampas tarp jų $90°$ ).

Formulė	Aprašymas
$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$	Atstumas tarp dviejų taškų
$d = \frac{\\|ax_0+by_0+c\\|}{\sqrt{a^2+b^2}}$	Atstumas nuo taško iki tiesės
$d = \frac{\\|c_1-c_2\\|}{\sqrt{a^2+b^2}}$	Atstumas tarp lygiagrečių tiesių
$\tan\alpha = \frac{\\|k_1-k_2\\|}{1+k_1 k_2}$	Kampas tarp dviejų tiesių

Raskite atstumą nuo taško $A(2;\; -3)$ iki tiesės $5x + 12y - 1 = 0$ .
Raskite atstumą nuo taško $P(-1;\; 4)$ iki tiesės $y = 3x - 2$ .
Raskite atstumą tarp lygiagrečių tiesių $2x - y + 3 = 0$ ir $2x - y - 7 = 0$ .
Raskite kampą tarp tiesių $y = x + 5$ ir $y = -2x + 1$ .
Raskite kampą tarp tiesių $y = 3x$ ir $y = -\frac{1}{3}x + 2$ .
Trikampio viršūnės: $A(0;\; 0)$ , $B(6;\; 0)$ , $C(2;\; 4)$ . Raskite aukštinės iš viršūnės $C$ ilgį (atstumą nuo $C$ iki tiesės $AB$ ).
Raskite atstumą nuo taško $M(4;\; 7)$ iki tiesės, einančios per taškus $A(1;\; 1)$ ir $B(5;\; 4)$ .
Tiesės $y = kx + 2$ atstumas nuo taško $(0;\; 0)$ yra $1$ . Raskite $k$ reikšmes.
Patikrinkite, ar tiesės $y = \frac{2}{3}x + 1$ ir $y = -\frac{3}{2}x - 4$ yra statmenos, ir raskite kampą tarp jų.
Raskite trikampio, kurio viršūnės $A(1;\; 1)$ , $B(7;\; 1)$ ir $C(4;\; 5)$ , plotą naudodami atstumo nuo taško iki tiesės formulę.