Apskritimo lygtis

Apskritimo lygtis

Standartinė apskritimo lygtis

Apskritimas su centru $C(a;\; b)$ ir spinduliu $r$ aprašomas lygtimi:

$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$

Jei centras yra koordinačių pradžioje $(0;\; 0)$, lygtis supaprastėja:

$$x^2 + y^2 = r^2$$

Pavyzdys 1. Parašykite apskritimo lygtį, jei centras $C(3;\; -2)$ ir spindulys $r = 5$.

$$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$$

Pavyzdys 2. Nurodykite apskritimo $(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 9$ centrą ir spindulį.

Centras: $C(-1;\; 4)$, spindulys: $r = \sqrt{9} = 3$.

Bendroji apskritimo lygtis

Apskritimo lygtis gali būti pateikta bendrąja forma:

$$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$$

Norint rasti centrą ir spindulį, reikia išskirti pilnuosius kvadratus.

Pilnojo kvadrato išskyrimas

$$x^2 + Dx = \left(x + \frac{D}{2}\right)^2 - \frac{D^2}{4}$$ $$y^2 + Ey = \left(y + \frac{E}{2}\right)^2 - \frac{E^2}{4}$$

Įstačius į bendrąją lygtį:

$$\left(x + \frac{D}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{E}{2}\right)^2 = \frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F$$

Taigi centras $C\!\left(-\frac{D}{2};\; -\frac{E}{2}\right)$ ir $r = \sqrt{\frac{D^2 + E^2}{4} - F}$.

Apskritimas egzistuoja tik tada, kai $\frac{D^2 + E^2}{4} - F > 0$.

Pavyzdys 3. Raskite apskritimo $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$ centrą ir spindulį.

Grupuojame ir išskiriame pilnuosius kvadratus:

$$(x^2 - 6x) + (y^2 + 4y) = 12$$ $$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) = 12 + 9 + 4$$ $$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$$

Centras: $C(3;\; -2)$, spindulys: $r = 5$.

Taško padėtis apskritimo atžvilgiu

Taškas $P(x_0;\; y_0)$ ir apskritimas $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$:

• Jei $(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2 < r^2$, taškas yra apskritimo viduje.
• Jei $(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2 = r^2$, taškas yra ant apskritimo.
• Jei $(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2 > r^2$, taškas yra apskritimo išorėje.

Pavyzdys 4. Ar taškas $P(1;\; 2)$ priklauso apskritimui $(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 16$?

$$(1 - 3)^2 + (2 + 1)^2 = 4 + 9 = 13 < 16$$

Taškas yra apskritimo viduje (ne ant apskritimo).

Tiesės ir apskritimo sankirta

Norint rasti tiesės ir apskritimo bendruosius taškus, tiesės lygtį įstatome į apskritimo lygtį ir gauname kvadratinę lygtį. Bendriausiu atveju:

1. Iš tiesės lygties išreiškiame $y$ (arba $x$).
2. Įstatome į apskritimo lygtį.
3. Gauname kvadratinę lygtį, kurios diskriminantas nustato sankirtos tipą.

Pavyzdys 5. Raskite tiesės $y = x + 1$ ir apskritimo $x^2 + y^2 = 5$ bendruosius taškus.

Įstatome $y = x + 1$ į apskritimo lygtį:

$$x^2 + (x + 1)^2 = 5$$ $$x^2 + x^2 + 2x + 1 = 5$$ $$2x^2 + 2x - 4 = 0$$ $$x^2 + x - 2 = 0$$ $$(x + 2)(x - 1) = 0$$

$x_1 = -2$, $y_1 = -1$ ir $x_2 = 1$, $y_2 = 2$.

Bendri taškai: $(-2;\; -1)$ ir $(1;\; 2)$.

Pavyzdys 6. Nustatykite, ar tiesė $y = 2x + 6$ liečia apskritimą $x^2 + y^2 = 5$.

Įstatome:

$$x^2 + (2x + 6)^2 = 5$$ $$x^2 + 4x^2 + 24x + 36 = 5$$ $$5x^2 + 24x + 31 = 0$$ $$D = 576 - 620 = -44 < 0$$

Tiesė ir apskritimas neturi bendrų taškų.

Savarankiško darbo užduotys

1. Parašykite apskritimo lygtį, jei centras $C(0;\; 0)$ ir spindulys $r = 7$.

2. Raskite apskritimo $(x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 36$ centrą ir spindulį.

3. Parašykite apskritimo lygtį, jei centras $C(-3;\; 1)$ ir apskritimas eina per tašką $P(1;\; 4)$.

4. Pertvarkykite lygtį $x^2 + y^2 + 8x - 2y - 8 = 0$ į standartinę formą. Nurodykite centrą ir spindulį.

5. Nustatykite, ar taškas $A(2;\; 3)$ yra apskritimo $x^2 + y^2 = 16$ viduje, ant apskritimo ar išorėje.

6. Raskite tiesės $y = x - 1$ ir apskritimo $x^2 + y^2 = 25$ bendruosius taškus.

7. Nustatykite, kiek bendrų taškų turi tiesė $y = 3x + 10$ ir apskritimas $x^2 + y^2 = 10$.

8. Raskite apskritimo su centru $C(1;\; 1)$ ir einančio per koordinačių pradžią lygtį.

9. Apskritimo centras yra $C(2;\; -1)$, o vienas apskritimo taškas yra $A(5;\; 3)$. Raskite apskritimo lygtį.

10. Parašykite apskritimo, kurio diametro galai yra taškai $A(1;\; 3)$ ir $B(7;\; -1)$, lygtį.