Tiesės lygtis koordinačių plokštumoje

Tiesės lygtis koordinačių plokštumoje

Tiesės lygtis su nuolydžiu

Dažniausia tiesės lygties forma — tiesės lygtis su nuolydžiu (krypties koeficientu):

$$y = kx + b$$

čia:

• $k$ — tiesės nuolydis (krypties koeficientas), rodantis, kaip greitai $y$ reikšmė kinta keičiantis $x$,
• $b$ — laisvasis narys, tiesės ir $Oy$ ašies susikirtimo taškas $(0;\; b)$.

Jei $k > 0$, tiesė kyla; jei $k < 0$, tiesė leidžiasi; jei $k = 0$, tiesė horizontali.

Nuolydžio radimas iš dviejų taškų

Jei tiesė eina per taškus $A(x_1;\; y_1)$ ir $B(x_2;\; y_2)$, tai nuolydis:

$$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}, \quad x_1 \neq x_2$$

Pavyzdys 1. Raskite tiesės, einančios per taškus $A(1;\; 3)$ ir $B(4;\; 9)$, nuolydį.

$$k = \frac{9 - 3}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2$$

Tiesės lygtis per tašką su žinomu nuolydžiu

Jei žinomas nuolydis $k$ ir taškas $(x_1;\; y_1)$, tiesės lygtis:

$$y - y_1 = k(x - x_1)$$

Pavyzdys 2. Parašykite tiesės lygtį, jei $k = 2$ ir tiesė eina per tašką $(1;\; 3)$.

$$y - 3 = 2(x - 1)$$ $$y - 3 = 2x - 2$$ $$y = 2x + 1$$

Tiesės lygtis per du taškus

Jei tiesė eina per taškus $A(x_1;\; y_1)$ ir $B(x_2;\; y_2)$, tai:

$$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$$

Pavyzdys 3. Parašykite tiesės lygtį per taškus $A(2;\; 1)$ ir $B(6;\; 5)$.

$$\frac{x - 2}{6 - 2} = \frac{y - 1}{5 - 1}$$ $$\frac{x - 2}{4} = \frac{y - 1}{4}$$ $$x - 2 = y - 1$$ $$y = x - 1$$

Bendroji tiesės lygtis

Bet kurią tiesę galima užrašyti bendrąja forma:

$$ax + by + c = 0$$

čia $a$, $b$, $c$ — skaičiai, $a$ ir $b$ ne abu lygūs nuliui.

Iš bendrosios formos galima rasti nuolydį: $k = -\frac{a}{b}$ (kai $b \neq 0$).

Pavyzdys 4. Pertvarkykite lygtį $3x - 2y + 6 = 0$ į formą $y = kx + b$.

$$-2y = -3x - 6$$ $$y = \frac{3}{2}x + 3$$

Nuolydis $k = \frac{3}{2}$, laisvasis narys $b = 3$.

Horizontalios ir vertikalios tiesės

• Horizontali tiesė: $y = c$ (nuolydis $k = 0$).
• Vertikali tiesė: $x = c$ (nuolydis neapibrėžtas, negalima užrašyti forma $y = kx + b$).

Lygiagrečios tiesės

Dvi tiesės $y = k_1 x + b_1$ ir $y = k_2 x + b_2$ yra lygiagrečios, jei:

$$k_1 = k_2 \quad \text{ir} \quad b_1 \neq b_2$$

Pavyzdys 5. Ar tiesės $y = 3x + 1$ ir $y = 3x - 5$ yra lygiagrečios?

Abi turi nuolydį $k = 3$, bet skirtingus laisvuosius narius, taigi tiesės yra lygiagrečios.

Statmenos tiesės

Dvi tiesės yra statmenos, jei jų nuolydžių sandauga lygi $-1$:

$$k_1 \cdot k_2 = -1$$

Kitaip tariant, $k_2 = -\frac{1}{k_1}$.

Pavyzdys 6. Raskite tiesės, statmenos tiesei $y = 2x + 3$ ir einančios per tašką $(4;\; 1)$, lygtį.

Duotos tiesės nuolydis $k_1 = 2$. Statmenos tiesės nuolydis: $k_2 = -\frac{1}{2}$.

$$y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 4)$$ $$y = -\frac{1}{2}x + 2 + 1 = -\frac{1}{2}x + 3$$

Savarankiško darbo užduotys

1. Parašykite tiesės lygtį, jei nuolydis $k = -3$ ir tiesė eina per tašką $(2;\; 4)$.

2. Raskite tiesės, einančios per taškus $A(-1;\; 5)$ ir $B(3;\; -3)$, lygtį.

3. Pertvarkykite lygtį $5x + 2y - 10 = 0$ į formą $y = kx + b$. Nurodykite $k$ ir $b$.

4. Parašykite tiesės, lygiagrečios su $y = -2x + 7$ ir einančios per tašką $(1;\; 0)$, lygtį.

5. Raskite tiesės, statmenos tiesei $y = \frac{1}{3}x - 2$ ir einančios per tašką $(3;\; 5)$, lygtį.

6. Raskite tiesės $y = 4x - 1$ ir $Oy$ ašies susikirtimo tašką.

7. Raskite tiesių $y = 2x + 1$ ir $y = -x + 7$ susikirtimo tašką.

8. Nustatykite, ar taškas $C(3;\; 7)$ priklauso tiesei, einančiai per taškus $A(1;\; 3)$ ir $B(2;\; 5)$.

9. Parašykite vertikalios tiesės, einančios per tašką $(5;\; -2)$, lygtį ir horizontalios tiesės, einančios per tą patį tašką, lygtį.

10. Trikampio viršūnės: $A(0;\; 0)$, $B(6;\; 0)$, $C(3;\; 4)$. Parašykite kraštinės $AC$ tiesės lygtį ir raskite aukštinės iš viršūnės $B$ lygtį.