Funkcijų transformacijos

Funkcijų transformacijos

Įvadas

Žinodami vienos funkcijos grafiką, galime lengvai nubraižyti su ja susijusių funkcijų grafikus, taikydami transformacijas. Tai labai svarbus įgūdis VBE egzaminui.

Visas transformacijas nagrinėsime su bazine funkcija f(x), kuri gali būti bet kokia funkcija (parabolė, sinusas, absoliučioji reikšmė ir kt.).

1. Paslinkimas aukštyn arba žemyn

Funkcija: y = f(x) + c

• Kai c > 0 – grafikas pastumtas aukštyn c vienetų
• Kai c < 0 – grafikas pastumtas žemyn |c| vienetų

Pavyzdys su parabole:

• f(x) = x² – pagrindinė parabole su viršūne (0; 0)
• g(x) = x² + 3 – parabole su viršūne (0; 3) – pastumta 3 vienetais aukštyn
• h(x) = x² - 2 – parabole su viršūne (0; -2) – pastumta 2 vienetais žemyn

Taisyklė: x koordinatės nesikeičia, y koordinatės didėja arba mažėja c.

2. Paslinkimas dešinėn arba kairėn

Funkcija: y = f(x - c)

• Kai c > 0 – grafikas pastumtas dešinėn c vienetų
• Kai c < 0 – grafikas pastumtas kairėn |c| vienetų

Dėmesio: Ženklas argumente yra priešingas paslinkimo krypčiai!

Pavyzdys su parabole:

• f(x) = x² – viršūnė (0; 0)
• g(x) = (x - 2)² – viršūnė (2; 0) – pastumta 2 vienetais dešinėn
• h(x) = (x + 3)² – viršūnė (-3; 0) – pastumta 3 vienetais kairėn

Pavyzdys su sinusu:

• f(x) = sin(x) – pagrindinė sinuso funkcija
• g(x) = sin(x - π/2) – sinuso grafikas pastumtas π/2 vienetais dešinėn

3. Sudėtinis paslinkimas

Funkcija: y = f(x - a) + b

Grafikas pastumtas a vienetų dešinėn ir b vienetų aukštyn.

Pavyzdys: g(x) = (x - 1)² + 4

• Tai parabole f(x) = x², pastumta 1 vienetu dešinėn ir 4 vienetais aukštyn
• Viršūnė: (1; 4)
• Grafikas tos pačios formos, tik kitoje vietoje

4. Atspindys Ox ašies atžvilgiu

Funkcija: y = -f(x)

Kiekvienas grafiko taškas (x; y) virsta tašku (x; -y) – grafikas apverstas žemyn.

Taisyklė: x koordinatės nesikeičia, y koordinatės keičia ženklą.

Pavyzdžiai:

• f(x) = x², tai -f(x) = -x² – parabolės šakos nukreiptos žemyn
• f(x) = sin(x), tai -f(x) = -sin(x) – sinusas apverstas
• f(x) = 2x + 1, tai -f(x) = -2x - 1

5. Atspindys Oy ašies atžvilgiu

Funkcija: y = f(-x)

Kiekvienas grafiko taškas (x; y) virsta tašku (-x; y) – grafikas atspindėtas dešinėn/kairėn.

Taisyklė: y koordinatės nesikeičia, x koordinatės keičia ženklą.

Pavyzdžiai:

• f(x) = x² + x, tai f(-x) = x² - x – parabolės grafikas atspindėtas Oy ašies atžvilgiu
• f(x) = 2^x, tai f(-x) = 2^(-x) – eksponentė apversta

Pastaba: Lyginės funkcijos (f(x) = f(-x)) nesikeičia atlikus šį atspindį.

6. Vertikali skalė (tempimas/glaudinimas)

Funkcija: y = a·f(x)

• Kai a > 1 – grafikas tempiamas vertikaliai (aukštyn, toliau nuo Ox ašies)
• Kai 0 < a < 1 – grafikas glaudinamas vertikaliai (arčiau Ox ašies)
• Kai a < 0 – ir skalė, ir atspindys Ox ašies atžvilgiu

Pavyzdys su parabole:

• f(x) = x² – pagrindinė parabole
• g(x) = 3x² – siauresnė parabole (tempiama į viršų)
• h(x) = (1/3)x² – platesnė parabole (glaudinama)

Pavyzdys su sinusu:

• y = 2·sin(x) – amplitudė padidėja iki 2 (max = 2, min = -2)
• y = (1/2)·sin(x) – amplitudė sumažėja iki 1/2

7. Horizontali skalė

Funkcija: y = f(b·x)

• Kai b > 1 – grafikas suspaudžiamas horizontaliai
• Kai 0 < b < 1 – grafikas tempiamas horizontaliai

Pavyzdys: y = sin(2x) – sinuso periodas sutrumpėja nuo 2π iki π.

Sudėtinių transformacijų tvarka

Kai funkcija turi kelias transformacijas, jas taikome šia tvarka:

1. Horizontalios skalės transformacija
2. Horizontalus paslinkimas
3. Vertikali skalė ir atspindžiai
4. Vertikalus paslinkimas

Pavyzdys: g(x) = -2(x + 3)² + 1

Pradedame nuo f(x) = x²:

1. (x + 3)² – paslinkimas 3 vnt. kairėn; viršūnė (-3; 0)
2. 2(x + 3)² – tempimas 2 kartus aukštyn
3. -2(x + 3)² – atspindys Ox ašies atžvilgiu (parabolės šakos nukreiptos žemyn)
4. -2(x + 3)² + 1 – paslinkimas 1 vnt. aukštyn; viršūnė (-3; 1)

Transformacijų lentelė

Praktinis pavyzdys iš VBE

Uždavinys: Funkcijos f(x) = x² grafikas transformuojamas: pastumtas 2 vnt. dešinėn, po to 5 vnt. žemyn, po to atspindėtas Ox ašies atžvilgiu. Parašykite gautosios funkcijos formulę ir nurodykite viršūnės koordinates.

Sprendimas:

1. f(x) = x² → pastumamas dešinėn 2 vnt.: (x - 2)²
2. (x - 2)² → pastumamas žemyn 5 vnt.: (x - 2)² - 5
3. (x - 2)² - 5 → atspindys Ox atžvilgiu: -((x - 2)² - 5) = -(x - 2)² + 5

Formulė: g(x) = -(x - 2)² + 5

Viršūnė: (2; 5) – parabolės šakos nukreiptos žemyn

Užduotys savarankiškam darbui

1. Parašykite funkcijos g(x) formulę, jei g(x) gaunama iš f(x) = √x pastumant 4 vienetais dešinėn ir 2 vienetais žemyn.

2. Funkcija h(x) = -sin(x) + 3. Aprašykite, kokios transformacijos atliktos su sin(x), ir nurodykite maksimalią bei minimalią h(x) reikšmę.

3. Duota f(x) = |x|. Parašykite funkcijų g(x) = |x + 2| - 1 ir h(x) = -|x - 3| formulių grafikus – kuo jie skiriasi nuo f(x) grafiko?

4. Funkcija y = 2·cos(x - π/4) + 1. Nustatykite: a) amplitudę; b) paslinkimą; c) maksimalią ir minimalią reikšmę.

5. Iš funkcijos f(x) = x² gauta g(x) = 3(x + 1)² - 4. Nurodykite visas atliktas transformacijas ir viršūnės koordinates.