Logaritminės funkcijos

Logaritminės funkcijos

Logaritmo apibrėžimas

Logaritmas – tai laipsnio rodiklis. Formaliai:

log_a(x) = y tada ir tik tada, kai a^y = x

čia a > 0, a ≠ 1 – pagrindas, x > 0.

Skaitome: „a pagrindu logaritmas iš x lygus y"

Pavyzdžiai:

• log₂(8) = 3, nes 2³ = 8
• log₃(9) = 2, nes 3² = 9
• log₁₀(1000) = 3, nes 10³ = 1000
• log₅(1) = 0, nes 5⁰ = 1
• log₂(1/4) = -2, nes 2^(-2) = 1/4

Logaritmavimas ir kėlimas laipsniu yra priešingos operacijos!

Logaritmo savybės

Pagrindinės formulės

Jei a > 0, a ≠ 1, x > 0, y > 0:

1. log_a(x · y) = log_a(x) + log_a(y) – sandaugos logaritmas
2. log_a(x / y) = log_a(x) - log_a(y) – dalmens logaritmas
3. log_a(x^n) = n · log_a(x) – laipsnio logaritmas
4. log_a(a) = 1 – pagrindo logaritmas
5. log_a(1) = 0 – vieneto logaritmas
6. a^(log_a(x)) = x – kėlimas laipsniu ir logaritmavimas

Pagrindo keitimo formulė

log_a(x) = log_b(x) / log_b(a)

Ypač naudinga, kai reikia perskaičiuoti bet kokį logaritmą į dešimtainį (log) arba natūralųjį (ln):

log_a(x) = log(x) / log(a) = ln(x) / ln(a)

Pavyzdys: log₂(7) = log(7) / log(2) ≈ 0,845 / 0,301 ≈ 2,807

Ypatingi logaritmai

Dešimtainis logaritmas log(x)

log(x) = log₁₀(x) – logaritmas 10 pagrindu, žymimas be pagrindo.

Tai plačiausiai naudojamas logaritmas kasdieniame gyvenime:

• log(10) = 1
• log(100) = 2
• log(1000) = 3
• log(0,1) = -1

Skaičiuotuvo mygtukas: [log]

Natūralusis logaritmas ln(x)

ln(x) = log_e(x) – logaritmas e pagrindu (e ≈ 2,71828).

Natūralusis logaritmas yra eksponentinės funkcijos e^x atvirkštinė funkcija:

• ln(e) = 1
• ln(e²) = 2
• ln(1) = 0

Skaičiuotuvo mygtukas: [ln]

Logaritminės funkcijos grafikas

Funkcija: y = log_a(x)

Kai a > 1 (pavyzdžiui, y = log₂(x))

• Apibrėžimo sritis: D(f) = (0; +∞) – tik teigiami skaičiai!
• Reikšmių sritis: E(f) = ℝ
• Funkcija didėja
• Kerta Ox ašį taške (1; 0), nes log_a(1) = 0
• Asimptotė: x = 0 (Oy ašis) – grafikas artėja prie ašies, bet jos nepasiekia
• Taškai: (1/4; -2), (1/2; -1), (1; 0), (2; 1), (4; 2), (8; 3)

Kai 0 < a < 1 (pavyzdžiui, y = log_(x))

• Funkcija mažėja
• Kerta Ox ašį taške (1; 0)
• Asimptotė: x = 0

Svarbu: Logaritminė ir eksponentinė funkcija yra atvirkštinės funkcijos viena kitai. Jų grafikai simetriški tiesės y = x atžvilgiu.

Savybių palyginimas

Logaritminių savybių taikymas

Pavyzdys 1: Apskaičiuokite: log₂(32) + log₂(4) - log₂(8)

• log₂(32) = log₂(2⁵) = 5
• log₂(4) = log₂(2²) = 2
• log₂(8) = log₂(2³) = 3
• Atsakymas: 5 + 2 - 3 = 4

Pavyzdys 2: Supaprastinkite: log₃(45) - log₃(5)

• log₃(45) - log₃(5) = log₃(45/5) = log₃(9) = log₃(3²) = 2

Pavyzdys 3: Apskaičiuokite: log₂(√32)

• log₂(√32) = log₂(32^(1/2)) = (1/2) · log₂(32) = (1/2) · 5 = 2,5

Logaritminės lygtys

1 tipas – tiesioginės

log_a(f(x)) = b → f(x) = a^b

Pavyzdys: log₃(2x - 1) = 2

• 2x - 1 = 3² = 9
• 2x = 10
• x = 5

Patikrinkite: log₃(2·5 - 1) = log₃(9) = 2 ✓

Svarbu: Visada patikrinkite, ar gauta x reikšmė priklauso logaritmo apibrėžimo sričiai (argumentas turi būti teigiamas)!

2 tipas – pakeitimas kintamuoju

Pavyzdys: log₂²(x) - 3·log₂(x) + 2 = 0

Pakeičiame t = log₂(x):

• t² - 3t + 2 = 0
• (t - 1)(t - 2) = 0
• t = 1 arba t = 2
• log₂(x) = 1 → x = 2
• log₂(x) = 2 → x = 4

Atsakymas: x = 2 arba x = 4

3 tipas – logaritminė nelygybė

log_a(f(x)) > log_a(g(x))

Jei a > 1: f(x) > g(x) (ženklas nesikeičia) Jei 0 < a < 1: f(x) < g(x) (ženklas keičiasi)

Logaritmų skaičiavimas be skaičiuotuvo

Naudojamos žinomos reikšmės:

Užduotys savarankiškam darbui

1. Apskaičiuokite be skaičiuotuvo: a) log₂(64) b) log₅(125) c) log₃(1/27) d) log₄(8)

2. Supaprastinkite: a) log₂(12) + log₂(8) - log₂(6) b) log(√1000) c) 2·log₃(6) - log₃(4)

3. Išspręskite lygtis: a) log₃(x + 5) = 3 b) log₂(x) + log₂(x - 2) = 3 c) log²(x) - 4·log(x) + 3 = 0 (naudokite pagrindą 10)

4. Nubraižykite funkcijų y = log₂(x) ir y = log_(x) grafikus. Kuo jie skiriasi?

5. Raskite funkcijos y = log₃(x - 2) + 1 apibrėžimo sritį ir reikšmių sritį.

6. Banke yra 5000 €. Kiek metų reikės, kad suma padvigubėtų prie 6% metinių palūkanų? Sudarykite lygtį ir išspręskite naudodami logaritmus.