Neapibrėžtieji integralai

Neapibrėžtieji integralai

Pirmykštė funkcija

Pirmykštė funkcija F(x) funkcijos f(x) yra tokia funkcija, kurios išvestinė lygi f(x):

F'(x) = f(x)

Pavyzdžiai:

• Jei f(x) = 2x, tai F(x) = x² yra pirmykštė, nes (x²)' = 2x
• Jei f(x) = cos(x), tai F(x) = sin(x) yra pirmykštė, nes (sin(x))' = cos(x)
• Jei f(x) = e^x, tai F(x) = e^x, nes (e^x)' = e^x

Svarbu: Pirmykštė nėra viena! Jei F(x) yra pirmykštė, tai F(x) + C (C – bet kuri konstanta) taip pat yra pirmykštė, nes konstantos išvestinė lygi 0.

Pavyzdys: Funkcijos f(x) = 2x pirmykštės: x², x² + 1, x² - 5, x² + 7,3 ir t.t.

Neapibrėžtojo integralo apibrėžimas

Neapibrėžtasis integralas – tai visų pirmykščių funkcijų aibė:

∫ f(x) dx = F(x) + C

čia:

• ∫ – integralo ženklas
• f(x) – integrantas (integruojama funkcija)
• dx – integravimo kintamasis
• F(x) – pirmykštė funkcija
• C – integravimo konstanta (bet koks realusis skaičius)

Skaitymas: „Integralas iš f(x) pagal x"

Svarbu: Niekada nepamiršti +C! Neapibrėžtajam integralui +C yra būtina.

Pagrindinės integravimo formulės

Šios formulės yra tiesioginiai išvestinių formulių „apvertimai":

Ypatingi atvejai laipsnio formulei:

• ∫ x dx = x²/2 + C
• ∫ x² dx = x³/3 + C
• ∫ x³ dx = x⁴/4 + C
• ∫ √x dx = ∫ x^(1/2) dx = x^(3/2)/(3/2) + C = (2/3)x^(3/2) + C
• ∫ 1/x² dx = ∫ x^(-2) dx = x^(-1)/(-1) + C = -1/x + C

Integravimo taisyklės

Konstantos išnešimas

∫ c · f(x) dx = c · ∫ f(x) dx

Pavyzdžiai:

• ∫ 5x² dx = 5 · ∫ x² dx = 5 · x³/3 + C = 5x³/3 + C
• ∫ -3sin(x) dx = -3 · ∫ sin(x) dx = -3 · (-cos(x)) + C = 3cos(x) + C

Sumos ir skirtumo taisyklė

∫ (f(x) ± g(x)) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx

Integralą galima skaidyti į sumą/skirtumą.

Pavyzdžiai:

1 pavyzdys: ∫ (3x² - 2x + 5) dx

= ∫ 3x² dx - ∫ 2x dx + ∫ 5 dx = 3 · x³/3 - 2 · x²/2 + 5x + C = x³ - x² + 5x + C

2 pavyzdys: ∫ (sin(x) + e^x) dx

= ∫ sin(x) dx + ∫ e^x dx = -cos(x) + e^x + C

3 pavyzdys: ∫ (2/x + 3√x) dx

= 2 · ln|x| + 3 · (2/3)x^(3/2) + C = 2ln|x| + 2x√x + C

Integralo ir išvestinės ryšys

Integravimas ir diferencijavimas yra atvirkštinės operacijos:

• Jei ∫ f(x) dx = F(x) + C, tai (F(x) + C)' = f(x)
• Jei F'(x) = f(x), tai ∫ f(x) dx = F(x) + C

Patikrinimas: Visada galima patikrinti atsakymą – padarome gauto integralo išvestinę ir gauname pradinę funkciją.

Patikrinkite: (x³ - x² + 5x + C)' = 3x² - 2x + 5 ✓

Integravimas su pakeitimu (kintamojo keitimas)

Kai integrantas yra sudėtinė funkcija, naudojame pakeitimą:

∫ f(g(x)) · g'(x) dx = F(g(x)) + C

Pavyzdys 1: ∫ (2x + 1)⁵ dx

Pakeitimas: t = 2x + 1, tada dt/dx = 2, dx = dt/2

∫ t⁵ · dt/2 = (1/2) · t⁶/6 + C = t⁶/12 + C = (2x + 1)⁶/12 + C

Patikrinkite: ((2x + 1)⁶/12)' = 6(2x + 1)⁵/12 · 2 = (2x + 1)⁵ ✓

Pavyzdys 2: ∫ sin(3x) dx

Pakeitimas: t = 3x, dt = 3dx, dx = dt/3

∫ sin(t) · dt/3 = (1/3) · (-cos(t)) + C = -cos(3x)/3 + C

Pavyzdys 3: ∫ e^(2x+1) dx

∫ e^(2x+1) dx = e^(2x+1)/2 + C

(Nes vidinės funkcijos (2x+1) išvestinė yra 2, reikia dalinti iš 2)

Pradinis sąlygas atitinkantis integralas

Kartais nurodoma pradinė sąlyga F(x₀) = y₀ – tai leidžia rasti konkrečią konstantos C reikšmę.

Pavyzdys: Raskite funkciją F(x), jei F'(x) = 3x² - 2 ir F(1) = 4.

Sprendimas:

1. ∫ (3x² - 2) dx = x³ - 2x + C

2. Iš pradinės sąlygos: F(1) = 1³ - 2(1) + C = 4 1 - 2 + C = 4 C = 5

3. F(x) = x³ - 2x + 5

Patikrinkime: F(1) = 1 - 2 + 5 = 4 ✓

Geometrinė prasmė

Neapibrėžtasis integralas ∫ f(x) dx = F(x) + C vaizduoja šeimą kreivių, kiekvienai skirtingai C reikšmei.

Šios kreivės yra vienodo pavidalo (ta pati forma), tik pastumtos aukštyn arba žemyn.

Užduotys savarankiškam darbui

1. Suskaičiuokite integralus: a) ∫ (4x³ - 6x + 1) dx b) ∫ (x⁴ + 2x² - x + 3) dx c) ∫ 7e^x dx d) ∫ (5/x - 2cos(x)) dx e) ∫ (1/x² + √x) dx

2. Patikrinkite (raskite išvestinę): a) ar (2x³ - x² + 4x + 7)' = 6x² - 2x + 4 b) ar (-cos(x) + sin(x))' = sin(x) + cos(x)

3. Raskite funkciją F(x), jei: a) F'(x) = 2x - 3 ir F(0) = 5 b) F'(x) = cos(x) ir F(π) = 0

4. Suskaičiuokite integralus su pakeitimu: a) ∫ (3x - 1)⁴ dx b) ∫ cos(2x) dx c) ∫ e^(5x) dx