Apibrėžtieji integralai

Apibrėžtieji integralai

Mokymosi tikslai

Baigę šią pamoką gebėsite:

• paaiškinti temą „Apibrėžtieji integralai“ vartojant taisyklingas matematines sąvokas;
• pasirinkti tinkamą formulę ar sprendimo metodą ir pagrįsti jo sąlygas;
• išspręsti uždavinį nuosekliai, patikrinti rezultatą ir interpretuoti jį kontekste;

Prisimink

Matematinis sprendimas yra ne vien galutinis skaičius. Pirmiausia įvardykite duomenis ir ieškomą dydį, patikrinkite apibrėžimo sąlygas, pasirinkite metodą, o pabaigoje įstatykite atsakymą į pradinę sąlygą. Jei uždavinys turi matavimo vienetus ar prasminį intervalą, jie yra sprendimo dalis.

Sąvokos

• Matematinis modelis – formulė, lygtis, grafikas ar kita struktūra, kuria aprašoma nagrinėjama situacija.
• Apibrėžimo sąlyga – apribojimas, nusakantis, kurioms kintamojo reikšmėms reiškinys ir atlikti veiksmai turi prasmę.
• Ekvivalentus pertvarkymas – veiksmas, nepakeičiantis sprendinių aibės; jei veiksmas gali pridėti ar pašalinti sprendinių, būtina atskira patikra.
• Interpretacija – matematinio rezultato paaiškinimas pradinio uždavinio kalba, išlaikant vienetus ir tikslumą.

Teorija

Apibrėžtasis integralas yra ribinė svertinių funkcijos reikšmių suma intervale. Kai funkcija neneigiama, integralas sutampa su kreivės ir $x$ ašies apribotu plotu. Kai funkcija neigiama, integralas yra orientuotas ir jo indėlis neigiamas.

Niutono ir Leibnico formulė leidžia integralą skaičiuoti naudojant pirmykštę funkciją: jei $F'=f$, tai integralas nuo $a$ iki $b$ lygus $F(b)-F(a)$. Integravimo konstanta apibrėžtajame integrale išnyksta.

Integralai yra adityvūs pagal intervalo skaidymą ir tiesiniai funkcijų sumos bei pastovaus daugiklio atžvilgiu. Sukeitus integravimo ribas ženklas pasikeičia. Vienetai yra funkcijos vienetų ir argumento vienetų sandauga.

Sprendimo kokybę verta įvertinti dviem nepriklausomais būdais. Algebrinį rezultatą galima patikrinti įstatant jį į pradinę sąlygą, o grafinį ar skaitinį – palyginant su keliomis kontrolinėmis reikšmėmis. Toks patikrinimas padeda pastebėti neteisingą ženklą, pamestą sprendinį, netinkamą intervalo galą ar per anksti suapvalintą reikšmę. Jei skirtingi būdai nesutampa, galutinis atsakymas dar nėra pagrįstas.

Tą patį matematinį ryšį dažnai galima pateikti formule, lentele, grafiku ir žodiniu paaiškinimu. Perėjimas tarp šių vaizdavimo būdų padeda suprasti, ką reiškia parametrai ir kaip kinta rezultatas. Braižant eskizą pažymimi atraminiai taškai, ribos, ženklai ir ypatingos reikšmės; sudarant lentelę pasirenkamos reikšmės abipus svarbių taškų. Sprendime verta trumpai parašyti ne tik ką skaičiuojame, bet ir kodėl pasirinktas veiksmas yra leistinas. Taip atsakymas tampa atkuriamas ir patikrinamas net be skaičiuotuvo.

Pagrindinės formulės

$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$$ $$\int_a^b f=-\int_b^a f$$ $$\int_a^c f+\int_c^b f=\int_a^b f$$

Formulėje esantys simboliai turi būti siejami su konkrečiais uždavinio dydžiais. Prieš skaičiuodami patikrinkite, ar visi dydžiai išreikšti suderintais vienetais ir ar tenkinamos formulės taikymo sąlygos.

Nuosekliai išspręstas pavyzdys

Uždavinys. Apskaičiuokite $\int_1^3(2x+1)\,dx$.

1. Pirmykštė funkcija yra $F(x)=x^2+x$.
2. $F(3)=9+3=12$, o $F(1)=1+1=2$.
3. Skirtumas $F(3)-F(1)=12-2=10$.

Atsakymas. Integralas lygus 10.

Sprendimo patikrai grįžkite į pradinę sąlygą: įvertinkite ženklą, dydžio eilę, vienetus ir tai, ar atsakymas priklauso leistinai sričiai. Apytikslę reikšmę apvalinkite tik paskutiniame žingsnyje, jei sąlyga nenurodo kitaip.

Dažnos klaidos

• Pirmykštėje funkcijoje nepakeisti laipsnio ir nepadalyti iš naujojo rodiklio.
• Niutono ir Leibnico formulėje skaičiuoti $F(a)-F(b)$.
• Integralą visada vadinti geometriniu plotu neatsižvelgiant į funkcijos ženklą.

Savarankiška praktika

Spręskite užrašydami tarpinius veiksmus. Atsakymus atsiverskite tik užbaigę pasirinktą užduotį.

1. Apskaičiuokite $\int_0^2 x\,dx$.
2. Apskaičiuokite $\int_1^4 3\,dx$.
3. Apskaičiuokite $\int_{-1}^1 x^3\,dx$.
4. Jei $\int_0^5 f=7$, kam lygu $\int_5^0 f$?
5. Jei $\int_0^2 f=3$ ir $\int_2^5 f=4$, raskite $\int_0^5 f$.
6. Apskaičiuokite $\int_0^1 4x^3\,dx$.
7. Kokie integralo vienetai, jei greitis m/s, o laikas s?
8. Ar $\int_a^a f(x)dx$ gali būti nelygus nuliui?

Atsakymai savitikrai

4. −7.
7. Metrai.
8. Ne, jis visada lygus 0.

Santrauka

Šioje pamokoje išnagrinėjote temą Apibrėžtieji integralai. Patikimas darbo algoritmas yra toks: nustatyti sąlygas, pasirinkti modelį, atlikti veiksmus be ankstyvo apvalinimo, patikrinti sprendinį ir tik tada pateikti kontekstinį atsakymą. Jei atsakymas nesuderinamas su pradine sąlyga, reikia taisyti ne galutinį skaičių, o rasti pirmą nepagrįstą sprendimo žingsnį.