Plotų skaičiavimas integralais

Plotų skaičiavimas integralais

Mokymosi tikslai

Baigę šią pamoką gebėsite:

• paaiškinti temą „Plotų skaičiavimas integralais“ vartojant taisyklingas matematines sąvokas;
• pasirinkti tinkamą formulę ar sprendimo metodą ir pagrįsti jo sąlygas;
• išspręsti uždavinį nuosekliai, patikrinti rezultatą ir interpretuoti jį kontekste;

Prisimink

Matematinis sprendimas yra ne vien galutinis skaičius. Pirmiausia įvardykite duomenis ir ieškomą dydį, patikrinkite apibrėžimo sąlygas, pasirinkite metodą, o pabaigoje įstatykite atsakymą į pradinę sąlygą. Jei uždavinys turi matavimo vienetus ar prasminį intervalą, jie yra sprendimo dalis.

Sąvokos

• Matematinis modelis – formulė, lygtis, grafikas ar kita struktūra, kuria aprašoma nagrinėjama situacija.
• Apibrėžimo sąlyga – apribojimas, nusakantis, kurioms kintamojo reikšmėms reiškinys ir atlikti veiksmai turi prasmę.
• Ekvivalentus pertvarkymas – veiksmas, nepakeičiantis sprendinių aibės; jei veiksmas gali pridėti ar pašalinti sprendinių, būtina atskira patikra.
• Interpretacija – matematinio rezultato paaiškinimas pradinio uždavinio kalba, išlaikant vienetus ir tikslumą.

Teorija

Geometrinis plotas visada neneigiamas, todėl funkcijai kertant $x$ ašį intervalas skaidomas ties nuliais ir integruojamas absoliutusis dydis. Vienas neigiamas apibrėžtasis integralas savaime nėra neigiamas plotas – tai orientuoto ploto reikšmė.

Plotas tarp dviejų grafikų skaičiuojamas integruojant viršutinės ir apatinės funkcijų skirtumą. Sankirtų taškai nustato ribas ir gali pakeisti grafikų eiliškumą, todėl prieš integruojant verta nubraižyti eskizą arba patikrinti bandomąją reikšmę.

Sukinio tūrio uždaviniuose A kurse gali būti taikoma diskų idėja: apie $x$ ašį sukant neneigiamos funkcijos plotą, skerspjūvio plotas yra $\pi f(x)^2$. Kaip ir plotams, pirmiausia nustatomas prasmingas intervalas.

Sprendimo kokybę verta įvertinti dviem nepriklausomais būdais. Algebrinį rezultatą galima patikrinti įstatant jį į pradinę sąlygą, o grafinį ar skaitinį – palyginant su keliomis kontrolinėmis reikšmėmis. Toks patikrinimas padeda pastebėti neteisingą ženklą, pamestą sprendinį, netinkamą intervalo galą ar per anksti suapvalintą reikšmę. Jei skirtingi būdai nesutampa, galutinis atsakymas dar nėra pagrįstas.

Tą patį matematinį ryšį dažnai galima pateikti formule, lentele, grafiku ir žodiniu paaiškinimu. Perėjimas tarp šių vaizdavimo būdų padeda suprasti, ką reiškia parametrai ir kaip kinta rezultatas. Braižant eskizą pažymimi atraminiai taškai, ribos, ženklai ir ypatingos reikšmės; sudarant lentelę pasirenkamos reikšmės abipus svarbių taškų. Sprendime verta trumpai parašyti ne tik ką skaičiuojame, bet ir kodėl pasirinktas veiksmas yra leistinas. Taip atsakymas tampa atkuriamas ir patikrinamas net be skaičiuotuvo.

Pagrindinės formulės

$$S=\int_a^b|f(x)|\,dx$$ $$S=\int_a^b(f_{viršus}-f_{apačia})\,dx$$ $$V=\pi\int_a^b f(x)^2\,dx$$

Formulėje esantys simboliai turi būti siejami su konkrečiais uždavinio dydžiais. Prieš skaičiuodami patikrinkite, ar visi dydžiai išreikšti suderintais vienetais ir ar tenkinamos formulės taikymo sąlygos.

Nuosekliai išspręstas pavyzdys

Uždavinys. Raskite plotą tarp $y=x$ ir $y=x^2$ intervale $[0;1]$.

1. Intervale $(0;1)$ turime $x>x^2$, todėl viršutinė funkcija yra $x$.
2. $S=\int_0^1(x-x^2)dx$.
3. Pirmykštė $x^2/2-x^3/3$.
4. $S=1/2-1/3=1/6$.

Atsakymas. Plotas lygus $1/6$ kvadratinio vieneto.

Sprendimo patikrai grįžkite į pradinę sąlygą: įvertinkite ženklą, dydžio eilę, vienetus ir tai, ar atsakymas priklauso leistinai sričiai. Apytikslę reikšmę apvalinkite tik paskutiniame žingsnyje, jei sąlyga nenurodo kitaip.

Dažnos klaidos

• Neišsiaiškinti, kuri funkcija yra viršuje.
• Funkcijai pakeitus ženklą skaičiuoti tik orientuotą integralą.
• Sankirtas rasti apytiksliai iš grafiko, kai jas galima tiksliai išspręsti.

Savarankiška praktika

Spręskite užrašydami tarpinius veiksmus. Atsakymus atsiverskite tik užbaigę pasirinktą užduotį.

1. Raskite plotą po $y=2x$ nuo 0 iki 3.
2. Raskite plotą tarp $y=4$ ir $x$ ašies intervale [1;5].
3. Raskite $y=x-1$ geometrinį plotą intervale [0;2].
4. Raskite $y=x^2$ ir $y=1$ sankirtas.
5. Raskite plotą tarp $y=1$ ir $y=x^2$ nuo −1 iki 1.
6. Kodėl ploto formulėje gali reikėti modulio?
7. Raskite trikampio po $y=3-x$ grafiku intervale [0;3] plotą integralu.
8. Kokia diskų metodo skerspjūvio formulė sukant $y=f(x)$ apie $x$ ašį?

Atsakymai savitikrai

4. $x=-1$ ir $x=1$.
5. $4/3$.
6. Nes geometrinis plotas neneigiamas, o integralas žemiau ašies yra neigiamas.
7. $9/2$.
8. $\pi f(x)^2$.

Santrauka

Šioje pamokoje išnagrinėjote temą Plotų skaičiavimas integralais. Patikimas darbo algoritmas yra toks: nustatyti sąlygas, pasirinkti modelį, atlikti veiksmus be ankstyvo apvalinimo, patikrinti sprendinį ir tik tada pateikti kontekstinį atsakymą. Jei atsakymas nesuderinamas su pradine sąlyga, reikia taisyti ne galutinį skaičių, o rasti pirmą nepagrįstą sprendimo žingsnį.