Išvestinės sąvoka ir apibrėžimas

Mokymosi tikslai

Baigę šią pamoką gebėsite:

paaiškinti temą „Išvestinės sąvoka ir apibrėžimas“ vartojant taisyklingas matematines sąvokas;
pasirinkti tinkamą formulę ar sprendimo metodą ir pagrįsti jo sąlygas;
išspręsti uždavinį nuosekliai, patikrinti rezultatą ir interpretuoti jį kontekste;

Prisimink

Matematinis sprendimas yra ne vien galutinis skaičius. Pirmiausia įvardykite duomenis ir ieškomą dydį, patikrinkite apibrėžimo sąlygas, pasirinkite metodą, o pabaigoje įstatykite atsakymą į pradinę sąlygą. Jei uždavinys turi matavimo vienetus ar prasminį intervalą, jie yra sprendimo dalis.

Sąvokos

Matematinis modelis – formulė, lygtis, grafikas ar kita struktūra, kuria aprašoma nagrinėjama situacija.
Apibrėžimo sąlyga – apribojimas, nusakantis, kurioms kintamojo reikšmėms reiškinys ir atlikti veiksmai turi prasmę.
Ekvivalentus pertvarkymas – veiksmas, nepakeičiantis sprendinių aibės; jei veiksmas gali pridėti ar pašalinti sprendinių, būtina atskira patikra.
Interpretacija – matematinio rezultato paaiškinimas pradinio uždavinio kalba, išlaikant vienetus ir tikslumą.

Teorija

Funkcijos vidutinis kitimo greitis intervale $[x_0;x_0+h]$ yra skirtuminis santykis. Mažinant $h$ šis santykis aprašo vis trumpesnę grafiko stygą. Jei egzistuoja riba, kai $h\to0$ , ji vadinama funkcijos išvestine taške $x_0$ .

Geometriškai išvestinė yra liestinės krypties koeficientas, fiziškai – momentinis kitimo greitis. Išvestinė gali neegzistuoti lūžio, smailės, trūkio arba vertikalios liestinės taške. Diferencijuojamumas taške garantuoja tolydumą tame taške, bet ne atvirkščiai.

Išvestinės žymėjimai $f'(x)$ , $y'$ ir $dy/dx$ pabrėžia tą pačią sąvoką skirtinguose kontekstuose. Išvestinė pati yra funkcija, kurios sritis gali būti siauresnė už pradinės funkcijos sritį.

Sprendimo kokybę verta įvertinti dviem nepriklausomais būdais. Algebrinį rezultatą galima patikrinti įstatant jį į pradinę sąlygą, o grafinį ar skaitinį – palyginant su keliomis kontrolinėmis reikšmėmis. Toks patikrinimas padeda pastebėti neteisingą ženklą, pamestą sprendinį, netinkamą intervalo galą ar per anksti suapvalintą reikšmę. Jei skirtingi būdai nesutampa, galutinis atsakymas dar nėra pagrįstas.

Tą patį matematinį ryšį dažnai galima pateikti formule, lentele, grafiku ir žodiniu paaiškinimu. Perėjimas tarp šių vaizdavimo būdų padeda suprasti, ką reiškia parametrai ir kaip kinta rezultatas. Braižant eskizą pažymimi atraminiai taškai, ribos, ženklai ir ypatingos reikšmės; sudarant lentelę pasirenkamos reikšmės abipus svarbių taškų. Sprendime verta trumpai parašyti ne tik ką skaičiuojame, bet ir kodėl pasirinktas veiksmas yra leistinas. Taip atsakymas tampa atkuriamas ir patikrinamas net be skaičiuotuvo.

Pagrindinės formulės

f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

k_{liestinės}=f'(x_0)

v(t)=s'(t)

Formulėje esantys simboliai turi būti siejami su konkrečiais uždavinio dydžiais. Prieš skaičiuodami patikrinkite, ar visi dydžiai išreikšti suderintais vienetais ir ar tenkinamos formulės taikymo sąlygos.

Nuosekliai išspręstas pavyzdys

Uždavinys. Pagal apibrėžimą raskite $f(x)=x^2$ išvestinę taške $x_0$ .

Skirtuminis santykis: $((x_0+h)^2-x_0^2)/h$ .
Išskleidžiame: $(2x_0h+h^2)/h=2x_0+h$ , kai $h\ne0$ .
Skaičiuojame ribą, kai $h\to0$ : $2x_0+h\to2x_0$ .

Atsakymas. $f'(x_0)=2x_0$ , taigi $f'(x)=2x$ .

Sprendimo patikrai grįžkite į pradinę sąlygą: įvertinkite ženklą, dydžio eilę, vienetus ir tai, ar atsakymas priklauso leistinai sričiai. Apytikslę reikšmę apvalinkite tik paskutiniame žingsnyje, jei sąlyga nenurodo kitaip.

Dažnos klaidos

Skirtuminiame santykyje pamiršti atimti $f(x_0)$ .
Įstatyti $h=0$ prieš sutrumpinant ir gauti neapibrėžtą $0/0$ .
Manyti, kad kiekviena tolydi funkcija privalo būti diferencijuojama.

Savarankiška praktika

Spręskite užrašydami tarpinius veiksmus. Atsakymus atsiverskite tik užbaigę pasirinktą užduotį.

Užrašykite $f(x)=x^3$ skirtuminį santykį taške $x_0$ .
Ką geometriškai reiškia $f'(2)=0$ ?
Ką reiškia $s'(5)=-3$ ?
Ar $|x|$ diferencijuojama taške 0?
Ar diferencijuojamumas garantuoja tolydumą?
Ar tolydumas visada garantuoja diferencijuojamumą?
Raskite $x^2$ liestinės nuolydį taške $x=4$ .
Kokie yra išvestinės vienetai, jei kelias metrais, laikas sekundėmis?

Atsakymai savitikrai

$((x_0+h)^3-x_0^3)/h$ .
Grafiko liestinė taške su $x=2$ yra horizontali.
Momentinis padėties kitimo greitis ties $t=5$ yra −3 vienetai per laiko vienetą.
Ne, kairinis ir dešininis nuolydžiai skirtingi.
Taip, tame taške.
Ne.
m/s.

Santrauka

Šioje pamokoje išnagrinėjote temą Išvestinės sąvoka ir apibrėžimas. Patikimas darbo algoritmas yra toks: nustatyti sąlygas, pasirinkti modelį, atlikti veiksmus be ankstyvo apvalinimo, patikrinti sprendinį ir tik tada pateikti kontekstinį atsakymą. Jei atsakymas nesuderinamas su pradine sąlyga, reikia taisyti ne galutinį skaičių, o rasti pirmą nepagrįstą sprendimo žingsnį.