egzas.lt logoegzas.lt
Grįžti į temą

Išvestinių skaičiavimo taisyklės

Orientacinė trukmė: ~25 min

Išvestinių skaičiavimo taisyklės

Išvestinės apibrėžimas (trumpa apžvalga)

Funkcijos f(x) išvestinė f'(x) rodo funkcijos kitimo greitį – tai liestinės nuolydis grafike taške (x; f(x)).

Mes daugiausia naudosime jau žinomas formules ir taisykles, o ne skaičiuosime pagal apibrėžimą.

Pagrindinės formulės

Šias formules būtina išmokti atmintinai – jos naudojamos kiekviename uždavinyje:

Funkcija f(x)f(x)Išvestinė f′(x)f'(x)
cc (konstanta)0
xx1
xnx^nn⋅xn−1n \cdot x^{n-1}
x=x1/2\sqrt{x} = x^{1/2}12x\frac{1}{2\sqrt{x}}
1x=x−1\frac{1}{x} = x^{-1}−1x2-\frac{1}{x^2}
sin⁡(x)\sin(x)cos⁡(x)\cos(x)
cos⁡(x)\cos(x)−sin⁡(x)-\sin(x)
tan⁡(x)\tan(x)1cos⁡2(x)\frac{1}{\cos^2(x)}
exe^xexe^x
axa^xax⋅ln⁡(a)a^x \cdot \ln(a)
ln⁡(x)\ln(x)1x\frac{1}{x}
log⁡a(x)\log_a(x)1x⋅ln⁡(a)\frac{1}{x \cdot \ln(a)}

Pastaba: (c)' = 0 – bet kokios konstantos išvestinė lygi nuliui.

Taisyklė 1: Sumos ir skirtumo taisyklė

(f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)

Išvestinę galima skaičiuoti nariui po nario.

Pavyzdžiai:

  1. y = x³ + 5x² - 2x + 7

    • y' = 3x² + 10x - 2

  2. y = sin(x) + cos(x)

    • y' = cos(x) - sin(x)

  3. y=ex−ln⁡(x)+3y = e^x - \ln(x) + 3

    • y′=ex−1xy' = e^x - \frac{1}{x}

Taisyklė 2: Konstantos išnešimas

(c · f(x))' = c · f'(x)

Konstanta „išnešama" prieš išvestinę – ji nesikeičia.

Pavyzdžiai:

  1. y = 5x³

    • y' = 5 · 3x² = 15x²

  2. y = -3sin(x)

    • y' = -3cos(x)

  3. y = (2/3)x⁶

    • y' = (2/3) · 6x⁵ = 4x⁵

Taisyklė 3: Daugybos taisyklė

(u · v)' = u' · v + u · v'

Kur u = u(x) ir v = v(x) – funkcijos.

Atminties pagalbininkė: „Pirmojo išvestinė kart antrasis, plius pirmasis kart antrojo išvestinė"

Pavyzdžiai:

  1. y = x² · sin(x)

    • u = x², u' = 2x
    • v = sin(x), v' = cos(x)
    • y' = 2x · sin(x) + x² · cos(x)

  2. y = (x + 1)(x² - 3)

    • u = x + 1, u' = 1
    • v = x² - 3, v' = 2x
    • y' = 1 · (x² - 3) + (x + 1) · 2x
    • y' = x² - 3 + 2x² + 2x
    • y' = 3x² + 2x - 3

  3. y=x⋅exy = x \cdot e^x

    • u=x,u′=1u = x, u' = 1
    • v=ex,v′=exv = e^x, v' = e^x
    • y′=1⋅ex+x⋅ex=ex(1+x)y' = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x(1 + x)

Taisyklė 4: Dalinimo taisyklė

(u/v)' = (u' · v - u · v') / v²

Atminties pagalbininkė: „Skaitiklio išvestinė kart vardiklis, minus skaitiklis kart vardiklio išvestinė, viskas dalinant iš vardiklio kvadrato"

Pavyzdžiai:

  1. y = sin(x) / x

    • u = sin(x), u' = cos(x)
    • v = x, v' = 1
    • y' = (cos(x) · x - sin(x) · 1) / x²
    • y' = (x·cos(x) - sin(x)) / x²

  2. y = (x + 1) / (x - 2)

    • u = x + 1, u' = 1
    • v = x - 2, v' = 1
    • y' = (1 · (x - 2) - (x + 1) · 1) / (x - 2)²
    • y' = (x - 2 - x - 1) / (x - 2)²
    • y' = -3 / (x - 2)²

Taisyklė 5: Sudėtinės funkcijos taisyklė (grandinės taisyklė)

(f(g(x)))' = f'(g(x)) · g'(x)

„Išorinės funkcijos išvestinė kart vidinės funkcijos išvestinė"

Tai svarbiausia taisyklė ir dažniausiai sukelia klaidų!

Kaip atpažinti sudėtinę funkciją: jei „išpjovus" vidinę dalį liktų prasminga funkcija – tai sudėtinė funkcija.

Pavyzdžiai:

  1. y = sin(3x)

    • Išorinė: sin(u), jos išvestinė: cos(u)
    • Vidinė: u = 3x, jos išvestinė: 3
    • y' = cos(3x) · 3 = 3cos(3x)

  2. y = (x² + 1)⁵

    • Išorinė: u⁵, jos išvestinė: 5u⁴
    • Vidinė: u = x² + 1, jos išvestinė: 2x
    • y' = 5(x² + 1)⁴ · 2x = 10x(x² + 1)⁴

  3. y=ex2y = e^{x^2}

    • Išorinė: eue^u, jos išvestinė: eue^u
    • Vidinė: u=x2u = x^2, jos išvestinė: 2x2x
    • y′=ex2⋅2x=2x⋅ex2y' = e^{x^2} \cdot 2x = 2x \cdot e^{x^2}

  4. y = ln(x² + 3)

    • Išorinė: ln(u), jos išvestinė: 1/u
    • Vidinė: u = x² + 3, jos išvestinė: 2x
    • y' = (1/(x² + 3)) · 2x = 2x/(x² + 3)

  5. y = √(2x + 1) = (2x + 1)^(1/2)

    • Išorinė: u^(1/2), jos išvestinė: (1/2)u^(-1/2) = 1/(2√u)
    • Vidinė: u = 2x + 1, jos išvestinė: 2
    • y' = 1/(2√(2x + 1)) · 2 = 1/√(2x + 1)

Sudėtingi pavyzdžiai (kelios taisyklės)

Pavyzdys: y = x² · e^(3x)

Čia reikia daugybos taisyklės + grandinės taisyklės:

  • u = x², u' = 2x
  • v = e^(3x), v' = e^(3x) · 3 = 3e^(3x) (grandinės taisyklė!)
  • y' = 2x · e^(3x) + x² · 3e^(3x)
  • y' = e^(3x)(2x + 3x²)
  • y' = xe^(3x)(2 + 3x)

Dažniausios klaidos

  1. Pamiršta grandinės taisyklė: y = sin(5x), y' = cos(5x) KLAIDINGA! Teisingai: y' = 5cos(5x)

  2. Klaidinga daugybos taisyklė: (u · v)' ≠ u' · v' – taip skaičiuoti negalima!

  3. Konstantos išvestinė: (7)' = 0, ne 1.

Užduotys savarankiškam darbui

  1. Raskite išvestines: a) f(x) = 4x³ - 3x² + 7x - 2 b) f(x) = 2sin(x) - 5cos(x) c) f(x) = x⁴ - e^x + ln(x) d) f(x) = 3/x² - √x

  2. Pritaikykite daugybos taisyklę: a) f(x) = (x + 2)(x² - x + 1) b) f(x) = x³ · cos(x) c) f(x) = e^x · sin(x)

  3. Pritaikykite dalinimo taisyklę: a) f(x) = (2x + 1)/(x - 3) b) f(x) = cos(x)/x² c) f(x) = e^x/(x + 1)

  4. Pritaikykite grandinės taisyklę: a) f(x) = (3x - 2)⁷ b) f(x) = cos(x² + 1) c) f(x) = √(x² - 4) d) f(x) = ln(2x + 5) e) f(x) = e^(sin(x))