Liestinės lygtis

Geometrinė prasmė

Liestinė prie kreivės taške P – tai tiesi linija, kuri kreivę „liečia" tame taške, t.y. turi bendrą tašką su kreive ir yra kuo arčiau jos šalia to taško.

Pagrindinis faktas: Išvestinė f'(x₀) yra lygiai liestinės nuolydis taške x₀.

Tai reiškia:

Jei f'(x₀) > 0 – liestinė kyla (kreivė didėja tame taške)
Jei f'(x₀) < 0 – liestinė leidžiasi (kreivė mažėja)
Jei f'(x₀) = 0 – liestinė horizontali (galimas ekstremumo arba stacionarusis taškas)

Liestinės lygties formulė

Liestinės prie kreivės y = f(x) taške (x₀; f(x₀)) lygtis:

y = f'(x₀) · (x - x₀) + f(x₀)

Tai tiesės lygtis per tašką (x₀; y₀) su nuolydžiu k = f'(x₀).

Kaip rasti liestinės lygtį – žingsniai

Raskite lietimosi tašką: duotas x₀, suskaičiuokite y₀ = f(x₀)
Raskite išvestinę f'(x)
Suskaičiuokite nuolydį: k = f'(x₀)
Įrašykite į formulę: y = k(x - x₀) + y₀

Pavyzdys 1 – parabole

Uždavinys: Raskite liestinės prie parabolės y = x² taške x₀ = 2 lygtį.

Sprendimas:

Lietimosi taškas: y₀ = f(2) = 2² = 4. Taškas: (2; 4)
Išvestinė: f'(x) = 2x
Nuolydis: k = f'(2) = 2 · 2 = 4
Liestinės lygtis: y = 4(x - 2) + 4 = 4x - 8 + 4

Atsakymas: y = 4x - 4

Patikrinkite: Ar taškas (2; 4) priklauso liestinei? y = 4(2) - 4 = 4 ✓

Pavyzdys 2 – kubinė funkcija

Uždavinys: Raskite liestinės prie y = x³ - 3x + 1 taške x₀ = 1 lygtį.

Sprendimas:

y₀ = f(1) = 1 - 3 + 1 = -1. Taškas: (1; -1)
f'(x) = 3x² - 3
k = f'(1) = 3(1)² - 3 = 3 - 3 = 0
Liestinės lygtis: y = 0 · (x - 1) + (-1)

Atsakymas: y = -1 (horizontali liestinė – ekstremumo taškas!)

Pavyzdys 3 – sinusoidas

Uždavinys: Raskite liestinės prie y = sin(x) taške x₀ = π/6 lygtį.

Sprendimas:

y₀ = sin(π/6) = 1/2. Taškas: (π/6; 1/2)
f'(x) = cos(x)
k = f'(π/6) = cos(π/6) = √3/2
Liestinės lygtis: y = (√3/2)(x - π/6) + 1/2

Atsakymas: y = (√3/2)·x - π√3/12 + 1/2

Normalė – statmena linija

Normalė prie kreivės taške – tai tiesi linija, einanti per tą tašką ir statmena liestinei.

Kadangi liestinė turi nuolydį k = f'(x₀), normalės nuolydis yra:

k_n = -1/f'(x₀) (jei f'(x₀) ≠ 0)

Normalės lygtis: y = -1/f'(x₀) · (x - x₀) + f(x₀)

Jei f'(x₀) = 0 (horizontali liestinė), normalė yra vertikali: x = x₀

Pavyzdys: Raskite normalės prie y = x² taške x₀ = 3 lygtį.

y₀ = 9. Taškas: (3; 9)
f'(x) = 2x, f'(3) = 6
Normalės nuolydis: k_n = -1/6
Normalės lygtis: y = -1/6 · (x - 3) + 9 = -x/6 + 1/2 + 9

Normalės lygtis: y = -x/6 + 19/2

Liestinė, einanti per nurodytą tašką

Kartais reikia rasti liestinę, einančią per konkretų tašką, bet tas taškas nebūtinai yra ant kreivės.

Uždavinys: Raskite liestinės prie parabolės y = x² lygtį, einančios per tašką A(0; -4).

Sprendimas:

Tegu lietimosi taškas yra (a; a²). Liestinės lygtis: y = 2a(x - a) + a² = 2ax - 2a² + a² = 2ax - a²

Ši tiesi turi eiti per tašką (0; -4): -4 = 2a · 0 - a² -4 = -a² a² = 4 a = ±2

Kai a = 2: y = 4x - 4 Kai a = -2: y = -4x - 4

Atsakymas: Yra dvi liestinės: y = 4x - 4 ir y = -4x - 4

Liestinė prie eksponentinės funkcijos

Uždavinys: Raskite liestinę prie y = e^x, kuri yra lygiagreti tiesei y = 3x + 1.

Sprendimas:

Norime, kad liestinės nuolydis k = 3.

f'(x) = e^x, todėl sprendžiame: e^x = 3 → x₀ = ln(3)

y₀ = e^(ln(3)) = 3

Liestinė: y = 3(x - ln(3)) + 3 = 3x - 3ln(3) + 3

Atsakymas: y = 3x + 3 - 3ln(3)

Praktinė reikšmė – aproksimacinė formulė

Liestinė taške x₀ leidžia aproksimuoti (apytiksliai skaičiuoti) funkcijos reikšmes netoli x₀:

f(x) ≈ f'(x₀)(x - x₀) + f(x₀) – tiesinis aproksimavimas

Pavyzdys: Apytiksliai suskaičiuokite √4,02:

f(x) = √x, x₀ = 4: f(4) = 2, f'(x) = 1/(2√x), f'(4) = 1/4

√4,02 ≈ (1/4)(4,02 - 4) + 2 = (1/4)(0,02) + 2 = 0,005 + 2 = 2,005

Tiksli reikšmė: √4,02 ≈ 2,00499... – labai artima!

Vertikalios liestinės

Jei f'(x₀) neegzistuoja arba f'(x₀) → ∞, liestinė gali būti vertikali: x = x₀.

Pavyzdys: f(x) = x^(1/3) (kubo šaknis). Taške x = 0: f'(x) = 1/(3x^(2/3)) → ∞, kai x → 0. Liestinė: x = 0 (Oy ašis).

Užduotys savarankiškam darbui

Raskite liestinių prie nurodytų kreivių nurodytose taškuose lygtis: a) y = x³ - 2x taške x₀ = 1 b) y = √x taške x₀ = 9 c) y = ln(x) taške x₀ = e d) y = e^x taške x₀ = 0 e) y = cos(x) taške x₀ = π/3
Raskite normalės prie parabolės y = x² - 4x + 3 taške x₀ = 2 lygtį.
Raskite liestinės prie kreivės y = x³ lygtį, jei liestinė eina per tašką (0; 0) (nekeičiant lietimosi taško, kuris taip pat gali būti (0;0)).
Raskite liestinių prie y = x² - x + 2 lygtis, kurios yra lygiagrečios tiesei y = 3x - 1.
Kokiu kampu (laipsniais, apytiksliai) kreivė y = x³ kerta Ox ašį taške (0; 0)? (Naudokite tan(α) = k)
Parabolės y = ax² + bx + c liestinė taške x = 1 yra y = 5x - 2, o grafikas kerta Oy ašį taške (0; 1). Raskite a, b, c.