egzas.lt logoegzas.lt
Grįžti į temą

Funkcijos tyrimas su išvestine

Orientacinė trukmė: ~30 min

Funkcijos tyrimas su išvestine

Išvestinės ryšys su monotoniškumu

Išvestinė f'(x) rodo funkcijos pokyčio greitį. Iš jos ženklo galime nustatyti funkcijos elgseną:

  • Jei f'(x) > 0 intervale (a; b) → funkcija didėja tame intervale
  • Jei f'(x) < 0 intervale (a; b) → funkcija mažėja tame intervale
  • Jei f'(x) = 0 taške x₀ → taškas gali būti ekstremumo taškas (maksimumas arba minimumas)

Geometrinė prasmė: f'(x) yra liestinės nuolydis. Didėjanti kreivė turi teigiamą liestinės nuolydį.

Kritiniai taškai

Kritinis taškas – tai taškas, kuriame f'(x) = 0 arba f'(x) neegzistuoja.

Kritinius taškus randame sprendžiant lygtį: f'(x) = 0

Kritiniai taškai yra kandidatai į ekstremumo taškus, bet ne kiekvienas kritinis taškas yra ekstremumo taškas.

Pavyzdys: f(x) = x³ – kritinis taškas x = 0 (nes f'(0) = 3·0² = 0), bet tai ne ekstremumo taškas – tai lūžio taškas.

Vietinis minimumas ir maksimumas

Vietinis maksimumas taške x₀ – tai taškas, kurio aplinkoje f(x) ≤ f(x₀).

Vietinis minimumas taške x₀ – tai taškas, kurio aplinkoje f(x) ≥ f(x₀).

Pirmas testas: ženklo pokytis

Tarkime x₀ – kritinis taškas (f'(x₀) = 0):

  • Jei f'(x) keičia ženklą iš „+" į „-" einant per x₀ → vietinis maksimumas
  • Jei f'(x) keičia ženklą iš „-" į „+" einant per x₀ → vietinis minimumas
  • Jei f'(x) nekeičia ženklo → pagal pirmąjį testą tai ne ekstremumo taškas

Antras testas: antroji išvestinė

Jei f'(x₀) = 0, tai:

  • Jei f''(x₀) > 0 → vietinis minimumas (kreivė lenkiasi aukštyn ∪)
  • Jei f''(x₀) < 0 → vietinis maksimumas (kreivė lenkiasi žemyn ∩)
  • Jei f''(x₀) = 0 → testas nepasako (reikia naudoti pirmą testą)

Funkcijos tyrimo schema

Pilnas funkcijos tyrimas atliekamas pagal šią schemą:

  1. Apibrėžimo sritis – kokiems x yra apibrėžta funkcija?
  2. Lyginė / nelyginė – ar f(-x) = f(x) ar f(-x) = -f(x)?
  3. Nuliniai taškai – kada f(x) = 0?
  4. Ženklas – kur f(x) > 0, kur f(x) < 0?
  5. Išvestinė f'(x) – suskaičiuoti ir rasti kritinius taškus
  6. Monotoniškumas – didėjimo ir mažėjimo intervalai
  7. Ekstremumai – vietiniai minimumai ir maksimumai
  8. Antroji išvestinė f''(x) – lenkimo kryptis (nebūtina VBE)
  9. Asimptotės – horizontalios, vertikalios
  10. Grafikas – nubraižyti remiantis surinkta informacija

Pilnas tyrimo pavyzdys

Ištirkime funkciją: f(x) = x³ - 3x

1. Apibrėžimo sritis: D(f) = ℝ (visur apibrėžta)

2. Lyginė/nelyginė: f(-x) = (-x)³ - 3(-x) = -x³ + 3x = -(x³ - 3x) = -f(x) Funkcija yra nelyginė – grafikas simetriškas koordinačių pradžios atžvilgiu.

3. Nuliniai taškai: f(x) = 0

  • x³ - 3x = 0
  • x(x² - 3) = 0
  • x = 0 arba x = ±√3

Nuliniai taškai: x₁ = -√3 ≈ -1,73; x₂ = 0; x₃ = √3 ≈ 1,73

4. Išvestinė: f'(x) = 3x² - 3 = 3(x² - 1) = 3(x - 1)(x + 1)

5. Kritiniai taškai: f'(x) = 0

  • 3(x - 1)(x + 1) = 0
  • x = -1 arba x = 1

6. Monotoniškumo lentelė:

Intervalas(-∞; -1)x = -1(-1; 1)x = 1(1; +∞)
f'(x)+0-0+
f(x)Didėja ↑Maks.Mažėja ↓Min.Didėja ↑

7. Ekstremumai:

  • x = -1: f(-1) = (-1)³ - 3(-1) = -1 + 3 = 2 → vietinis maksimumas → taškas (-1; 2)
  • x = 1: f(1) = 1³ - 3(1) = 1 - 3 = -2 → vietinis minimumas (1; -2)

8. Išvada: Funkcija didėja intervale (-∞; -1), mažėja (-1; 1), vėl didėja (1; +∞). Vietinis maksimumas: (-1; 2), vietinis minimumas: (1; -2).

Globalus (absoliutus) ekstremumai

Uždavinys: Raskite funkcijos f(x) = -x² + 4x + 1 didžiausią reikšmę intervale [0; 4].

Sprendimas:

  1. f'(x) = -2x + 4 = 0 → x = 2 ∈ [0; 4]

  2. Tikriname kritinius taškus ir intervalo galus:

    • f(0) = 0 + 0 + 1 = 1
    • f(2) = -4 + 8 + 1 = 5
    • f(4) = -16 + 16 + 1 = 1

  3. Didžiausia reikšmė: f(2) = 5 (maksimumas) Mažiausia reikšmė: f(0) = f(4) = 1 (minimumas intervalo galuose)

Praktinis uždavinys iš VBE tipo

Uždavinys: Stačiakampio perimetras lygus 40 cm. Raskite stačiakampio matmenis, kad jo plotas būtų kuo didesnis.

Sprendimas:

Tegu stačiakampio ilgis = x, plotis = y.

Perimetras: 2x + 2y = 40, todėl y = 20 - x

Plotas: S(x) = x · y = x(20 - x) = 20x - x²

Apibrėžimo sritis: 0 < x < 20

S'(x) = 20 - 2x = 0 → x = 10

S''(x) = -2 < 0 → tai maksimumas!

Atsakymas: x = 10, y = 10 – tai kvadratas su kraštine 10 cm, plotas = 100 cm².

Asimptotės (papildoma medžiaga)

Horizontali asimptotė: jei lim(x→+∞) f(x) = L, tai y = L – horizontali asimptotė.

Vertikali asimptotė: jei lim(x→a) f(x) = ±∞, tai x = a – vertikali asimptotė (dažnai ten, kur funkcija neapibrėžta).

Pavyzdys: y = 1/(x-2)

  • Vertikali asimptotė: x = 2
  • Horizontali asimptotė: y = 0 (nes kai x → ∞, y → 0)

Užduotys savarankiškam darbui

  1. Raskite funkcijos f(x) = 2x³ - 6x didėjimo ir mažėjimo intervalus bei ekstremumo taškus.

  2. Ištirkite funkciją f(x) = x⁴ - 8x² + 7: a) Raskite kritinius taškus b) Nustatykite ekstremumus c) Apskaičiuokite ekstremalias reikšmes

  3. Raskite funkcijos f(x) = -x² + 6x - 5 didžiausią reikšmę. Kuriame intervale ji didėja?

  4. Iš skardos lakšto, kurio matmenys 20 × 20 cm, ketinama pagaminti atvirą dėžutę. Kiekviename kampe išpjaunami vienodi kvadratėliai su kraštine x. Raskite x reikšmę, kad dėžutės tūris būtų kuo didesnis.

  5. Ištirkite funkciją f(x) = x³ - 6x² + 9x + 2 pagal visą tyrimo schemą ir nubraižykite grafiką.