Deriniai ir tvarkos

Sudėties ir daugybos taisyklės

Sudėties taisyklė: jei veiksmą galima atlikti $m$ būdų arba $n$ būdų (ir šie būdai nepersidengia), tai iš viso yra $m + n$ būdų.

Daugybos taisyklė: jei pirmą veiksmą galima atlikti $m$ būdų, o antrą – $n$ būdų, tai abu veiksmus kartu galima atlikti $m \cdot n$ būdų.

Pavyzdys 1. Mokykloje yra 5 berniukai ir 8 mergaitės. Keliais būdais galima išrinkti vieną mokinį? Keliais būdais galima išrinkti porą (berniukas ir mergaitė)?

Vienas mokinys: $5 + 8 = 13$ būdų (sudėties taisyklė).

Pora: $5 \cdot 8 = 40$ būdų (daugybos taisyklė).

Perstatiniai (permutacijos)

Perstatiniai – tai visų $n$ elementų išdėstymas tam tikra tvarka. Perstatinių skaičius:

$P_n = n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$

Susitariame, kad $0! = 1$ .

Pavyzdys 2. Keliais būdais galima surikiuoti 5 knygas lentynoje?

$P_5 = 5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$

Pavyzdys 3. Keliais būdais 7 žmonės gali sustoti į eilę?

$P_7 = 7! = 5040$

Gretiniai (tvarkos, išdėstymai)

Gretiniai – tai $k$ elementų pasirinkimas iš $n$ , kai tvarka svarbi. Gretinių skaičius:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

Pavyzdys 4. Iš 10 bėgikų reikia išrinkti, kas užims 1, 2 ir 3 vietas. Keliais būdais tai galima padaryti?

$A_{10}^3 = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$

Deriniai (kombinacijos)

Deriniai – tai $k$ elementų pasirinkimas iš $n$ , kai tvarka nesvarbi. Derinių skaičius:

$C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Pavyzdys 5. Iš klasės, kurioje 20 mokinių, reikia išrinkti 3 atstovus į tarybą. Keliais būdais tai galima padaryti?

$C_{20}^3 = \frac{20!}{3! \cdot 17!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{1 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{6840}{6} = 1140$

Pavyzdys 6. Krepšininkas turi 12 kamuolių. Keliais būdais jis gali pasirinkti 5 kamuolius treniruotei?

$C_{12}^5 = \frac{12!}{5! \cdot 7!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} = \frac{95040}{120} = 792$

Derinių savybės

Savybė	Formulė
Simetrija	$C_n^k = C_n^{n-k}$
Kraštiniai atvejai	$C_n^0 = C_n^n = 1$
Vieno elemento	$C_n^1 = n$
Paskalio taisyklė	$C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k$

Paskalio trikampis – tai skaičių trikampis, kuriame kiekvienas skaičius yra dviejų virš jo esančių skaičių suma:


			1
		1		1
	1		2		1
1		3		3	1
1	4		6	4	1

Kiekviena Paskalio trikampio eilutė atitinka derinius: $n$ -oji eilutė yra $C_n^0, C_n^1, C_n^2, \ldots, C_n^n$ .

Binomo formulė (Niutono binomas)

Dvinarės sumos $n$ -asis laipsnis išreiškiamas:

$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k$

Išskleista:

$(a + b)^n = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b + C_n^2 a^{n-2}b^2 + \ldots + C_n^n b^n$

Pavyzdys 7. Išskleiskime $(x + 2)^4$ :

$(x+2)^4 = C_4^0 x^4 + C_4^1 x^3 \cdot 2 + C_4^2 x^2 \cdot 4 + C_4^3 x \cdot 8 + C_4^4 \cdot 16$

$= x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16$

Pavyzdys 8. Raskime $(1 + x)^5$ skleidinio narį, kuriame $x^3$ :

Narys su $x^3$ : $C_5^3 \cdot 1^{5-3} \cdot x^3 = 10x^3$ .

Savarankiško darbo užduotys

Apskaičiuokite $6!$ ir $\dfrac{8!}{6!}$ .
Keliais būdais galima surikiuoti žodžio „KNYGOS" raides?
Apskaičiuokite $A_8^3$ (gretinių skaičių).
Apskaičiuokite $C_{10}^4$ .
Iš 15 komandos narių reikia išrinkti kapitoną ir jo pavaduotoją. Keliais būdais tai galima padaryti?
Iš 12 mokinių reikia sudaryti 4 žmonių komandą. Kiek yra skirtingų komandų?
Įrodykite, kad $C_8^3 = C_8^5$ .
Išskleiskite $(a + b)^5$ naudodami Binomo formulę.
Raskite $(2x - 1)^4$ skleidinio narį, kuriame yra $x^2$ .
Kavos bare siūloma 6 rūšių kava ir 4 rūšių pyragaičiai. Keliais būdais galima užsisakyti kavą ir pyragaitį? O keliais būdais – arba kavą, arba pyragaitį?