Tikimybių teorija

Pagrindinės sąvokos

Bandymas (eksperimentas) – tai veiksmas, kurio rezultatas iš anksto nežinomas (pvz., monetos metimas, kauliuko metimas).

Imties erdvė $\Omega$ – tai visų galimų bandymo baigtių aibė.

Įvykis $A$ – tai imties erdvės poaibis, t. y. tam tikras baigtis, kurios mus domina.

Pavyzdys 1. Metamas standartinis kauliukas. Imties erdvė: $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ . Įvykis „iškrenta lyginis skaičius": $A = \{2, 4, 6\}$ .

Klasikinė tikimybė

Jei visi bandymo rezultatai yra vienodai galimi, tai įvykio $A$ tikimybė:

$P(A) = \frac{m}{n}$

kur $m$ – palankių baigtų skaičius (įvykio $A$ elementų skaičius), $n$ – visų galimų baigtų skaičius.

Tikimybės savybės:

$0 \leq P(A) \leq 1$
$P(\Omega) = 1$ (tikras įvykis)
$P(\varnothing) = 0$ (negalimas įvykis)

Pavyzdys 2. Metamas kauliukas. Kokia tikimybė, kad iškris skaičius, didesnis nei 4?

Palankios baigtys: $\{5, 6\}$ , jų $m = 2$ . Visų baigtų: $n = 6$ .

$P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Pavyzdys 3. Iš standartinės 52 kortų kaladės traukiama viena korta. Kokia tikimybė, kad tai bus tūzas?

Tūzų yra 4, kortų iš viso 52:

$P(\text{tūzas}) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$

Papildinio (priešingo įvykio) tikimybė

Įvykio $A$ papildinys $\bar{A}$ – tai įvykis „ $A$ neįvyksta". Jo tikimybė:

$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$

Ši formulė labai naudinga, kai lengviau apskaičiuoti priešingo įvykio tikimybę.

Pavyzdys 4. Metami du kauliukai. Kokia tikimybė, kad bent viename iškris 6?

Priešingas įvykis: „nė viename neiškris 6". Tikimybė, kad viename kauliuke neiškris 6: $\frac{5}{6}$ .

$P(\bar{A}) = \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{36}$

$P(A) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$

Įvykių sudėtis (sąjunga)

Dviejų įvykių $A$ ir $B$ sąjungos tikimybė:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Jei $A$ ir $B$ yra nesuderinamieji (negali įvykti vienu metu), tai $P(A \cap B) = 0$ ir:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

Pavyzdys 5. Iš kaladės (52 kortos) traukiama korta. Kokia tikimybė, kad tai bus širdis arba karalius?

$P(\text{širdis}) = \frac{13}{52}, \quad P(\text{karalius}) = \frac{4}{52}, \quad P(\text{širdies karalius}) = \frac{1}{52}$

$P(\text{širdis} \cup \text{karalius}) = \frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$

Nepriklausomi įvykiai

Įvykiai $A$ ir $B$ yra nepriklausomi, jei vieno įvykio baigtis neturi įtakos kito tikimybei. Tuomet:

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Tai reiškia: „ir $A$ , ir $B$ įvyksta" tikimybė lygi jų tikimybių sandaugai.

Pavyzdys 6. Metama moneta ir kauliukas. Kokia tikimybė, kad iškris herbas ir skaičius 3?

$P(\text{herbas} \cap 3) = P(\text{herbas}) \cdot P(3) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$

Pavyzdys 7. Du šauliai šaudo į taikinį. Pirmojo pataikymo tikimybė $0{,}8$ , antrojo – $0{,}7$ . Kokia tikimybė, kad abu pataikys?

$P(A \cap B) = 0{,}8 \cdot 0{,}7 = 0{,}56$

Sąlyginė tikimybė

Įvykio $A$ tikimybė, žinant, kad $B$ jau įvyko:

$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Pavyzdys 8. Dėžėje yra 5 raudoni ir 3 mėlyni kamuoliukai. Iš eilės traukiami 2 kamuoliukai (negrąžinant). Kokia tikimybė, kad abu bus raudoni?

Pirmasis raudonas: $P(R_1) = \frac{5}{8}$ .

Antrasis raudonas, kai pirmasis jau raudonas: $P(R_2 \mid R_1) = \frac{4}{7}$ .

$P(R_1 \cap R_2) = \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} = \frac{20}{56} = \frac{5}{14}$

Medžio diagrama

Medžio diagrama – tai schema, padedanti vizualiai pavaizduoti visas galimas bandymo baigtis ir jų tikimybes. Kiekviena šaka atitinka vieną baigtį, o šakos gale užrašoma tikimybė.

Taisyklės:

Kiekviename mazge šakų tikimybių suma lygi 1.
Baigtinės baigtys gaunamos einant šakomis nuo pradžios iki galo.
Baigtis tikimybė – visų šakų tikimybių sandauga kelyje.

Pavyzdys 9. Maišelyje 3 balti ir 2 juodi kamuoliukai. Traukiami du be grąžinimo. Kokia tikimybė gauti skirtingų spalvų kamuoliukus?

Pirmas baltas, antras juodas: $\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{6}{20}$ .

Pirmas juodas, antras baltas: $\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{20}$ .

$P(\text{skirtingų spalvų}) = \frac{6}{20} + \frac{6}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$

Savarankiško darbo užduotys

Metamas kauliukas. Raskite tikimybę, kad iškris nelyginis skaičius.
Iš 52 kortų kaladės traukiama viena korta. Kokia tikimybė, kad ji bus raudonos spalvos (širdis arba buba)?
Dėžėje yra 6 baltos ir 4 juodos kojinės. Iš anksto nežiūrint traukiama viena. Kokia tikimybė, kad ji bus juoda?
Metami du kauliukai. Raskite tikimybę, kad akučių suma bus lygi 7.
Kokia tikimybė, kad metant monetą tris kartus, visi trys metimai bus herbai?
Dėžėje 10 rutuliukų, sunumeruotų nuo 1 iki 10. Traukiamas vienas. Kokia tikimybė, kad jo numeris bus lyginis arba didesnis nei 7?
Du šauliai šaudo nepriklausomai. Pirmojo pataikymo tikimybė $0{,}9$ , antrojo – $0{,}8$ . Kokia tikimybė, kad bent vienas pataikys?
Urna turi 4 raudonus ir 6 žalius kamuoliukus. Traukiami du kamuoliukai be grąžinimo. Kokia tikimybė, kad abu bus žali?
Klasėje 12 berniukų ir 18 mergaičių. Atsitiktinai renkamas vienas mokinys. Raskite tikimybę, kad tai nebus mergaitė.
Raskite tikimybę, kad metant du kauliukus, bent viename iškris skaičius 1 (naudokite papildinio formulę).