Statistinis tyrimas, regresija ir koreliacija

Statistinis tyrimas, regresija ir koreliacija

Mokymosi tikslai

Baigę šią pamoką gebėsite:

• paaiškinti temą „Statistinis tyrimas, regresija ir koreliacija“ vartojant taisyklingas matematines sąvokas;
• pasirinkti tinkamą formulę ar sprendimo metodą ir pagrįsti jo sąlygas;
• išspręsti uždavinį nuosekliai, patikrinti rezultatą ir interpretuoti jį kontekste;

Prisimink

Matematinis sprendimas yra ne vien galutinis skaičius. Pirmiausia įvardykite duomenis ir ieškomą dydį, patikrinkite apibrėžimo sąlygas, pasirinkite metodą, o pabaigoje įstatykite atsakymą į pradinę sąlygą. Jei uždavinys turi matavimo vienetus ar prasminį intervalą, jie yra sprendimo dalis.

Sąvokos

• Matematinis modelis – formulė, lygtis, grafikas ar kita struktūra, kuria aprašoma nagrinėjama situacija.
• Apibrėžimo sąlyga – apribojimas, nusakantis, kurioms kintamojo reikšmėms reiškinys ir atlikti veiksmai turi prasmę.
• Ekvivalentus pertvarkymas – veiksmas, nepakeičiantis sprendinių aibės; jei veiksmas gali pridėti ar pašalinti sprendinių, būtina atskira patikra.
• Interpretacija – matematinio rezultato paaiškinimas pradinio uždavinio kalba, išlaikant vienetus ir tikslumą.

Teorija

Kokybiškas statistinis tyrimas apibrėžia populiaciją, atrankos rėmą, kintamuosius ir duomenų rinkimo procedūrą. Atsitiktinė atranka mažina sisteminį šališkumą, o pakankamas imties dydis mažina atsitiktinį svyravimą. Matavimo klaida ir neatsakymas gali išlikti net didelėje imtyje.

Sklaidos diagrama parodo formą, kryptį, stiprumą ir išskirtis. Koreliacijos koeficientas $r$ matuoja tiesinį ryšį, yra bevienetis ir nekinta vienetus pakeitus tiesiškai. Regresijos tiesė minimizuoja kvadratinių vertikalių liekanų sumą ir leidžia interpoliuoti.

Determinacijos koeficientas $R^2$ tiesiniame modelyje aprašo paaiškintos rezultato sklaidos dalį, bet negarantuoja priežastingumo ar modelio tinkamumo už intervalo. Liekanų grafikas turi būti nagrinėjamas dėl kreivumo, nevienodos sklaidos ir išskirčių.

Sprendimo kokybę verta įvertinti dviem nepriklausomais būdais. Algebrinį rezultatą galima patikrinti įstatant jį į pradinę sąlygą, o grafinį ar skaitinį – palyginant su keliomis kontrolinėmis reikšmėmis. Toks patikrinimas padeda pastebėti neteisingą ženklą, pamestą sprendinį, netinkamą intervalo galą ar per anksti suapvalintą reikšmę. Jei skirtingi būdai nesutampa, galutinis atsakymas dar nėra pagrįstas.

Tą patį matematinį ryšį dažnai galima pateikti formule, lentele, grafiku ir žodiniu paaiškinimu. Perėjimas tarp šių vaizdavimo būdų padeda suprasti, ką reiškia parametrai ir kaip kinta rezultatas. Braižant eskizą pažymimi atraminiai taškai, ribos, ženklai ir ypatingos reikšmės; sudarant lentelę pasirenkamos reikšmės abipus svarbių taškų. Sprendime verta trumpai parašyti ne tik ką skaičiuojame, bet ir kodėl pasirinktas veiksmas yra leistinas. Taip atsakymas tampa atkuriamas ir patikrinamas net be skaičiuotuvo.

Pagrindinės formulės

$$r\in[-1;1]$$ $$\hat y=ax+b$$ $$e_i=y_i-\hat y_i$$ $$R^2=r^2\text{ paprastoje tiesinėje regresijoje}$$

Formulėje esantys simboliai turi būti siejami su konkrečiais uždavinio dydžiais. Prieš skaičiuodami patikrinkite, ar visi dydžiai išreikšti suderintais vienetais ir ar tenkinamos formulės taikymo sąlygos.

Nuosekliai išspręstas pavyzdys

Uždavinys. Regresijos modelis $\hat y=4{,}2x+51$, koreliacija $r=0{,}8$. Interpretuokite nuolydį, $R^2$ ir prognozę, kai $x=6$.

1. Padidėjus $x$ vienetu, modelio prognozuojamas $y$ vidutiniškai padidėja 4,2 vieneto.
2. $R^2=0{,}8^2=0{,}64$, tad modelis paaiškina apie 64 % stebėtos $y$ sklaidos.
3. $\hat y(6)=4{,}2\cdot6+51=76{,}2$.
4. Prognozės patikimumas priklauso nuo to, ar 6 yra duomenų intervale ir liekanos nerodo problemų.

Atsakymas. Nuolydis 4,2; $R^2=0{,}64$; prognozė 76,2 su nurodytomis modelio ribomis.

Sprendimo patikrai grįžkite į pradinę sąlygą: įvertinkite ženklą, dydžio eilę, vienetus ir tai, ar atsakymas priklauso leistinai sričiai. Apytikslę reikšmę apvalinkite tik paskutiniame žingsnyje, jei sąlyga nenurodo kitaip.

Dažnos klaidos

• $R^2$ interpretuoti kaip tikimybę, kad modelis yra teisingas.
• Didelę koreliaciją laikyti priežastinio ryšio įrodymu.
• Ekstrapoliuoti už duomenų ribų nepatikrinus proceso logikos.

Savarankiška praktika

Spręskite užrašydami tarpinius veiksmus. Atsakymus atsiverskite tik užbaigę pasirinktą užduotį.

1. Ką regresijoje reiškia liekana?
2. Jei $r=-0{,}6$, kam lygu $R^2$ paprastoje regresijoje?
3. Ar vienetų pakeitimas iš metrų į centimetrus pakeičia $r$?
4. Ką rodo sistemingas liekanų kreivumas?
5. Kada prognozė vadinama interpoliacija?
6. Kuo skiriasi atsitiktinė atrankos klaida ir sisteminis šališkumas?
7. Ar didesnė imtis pašalina blogo klausimyno šališkumą?
8. Ką būtina nurodyti pateikiant regresijos išvadą?

Atsakymai savitikrai

1. Stebėtos ir modelio prognozuotos reikšmės skirtumą.
2. 0,36.
3. Ne, jei pakeitimas tiesinis su teigiamu koeficientu.
4. Tiesinis modelis gali būti netinkamas.
5. Kai argumento reikšmė yra stebėtų duomenų intervalo viduje.
6. Atsitiktinė klaida svyruoja dėl imties, o šališkumas nuosekliai kreipia rezultatą viena kryptimi.
7. Ne.
8. Kontekstą, intervalą, neapibrėžtumą, liekanų patikrą ir tai, kad sąsaja nebūtinai priežastinė.

Santrauka

Šioje pamokoje išnagrinėjote temą Statistinis tyrimas, regresija ir koreliacija. Patikimas darbo algoritmas yra toks: nustatyti sąlygas, pasirinkti modelį, atlikti veiksmus be ankstyvo apvalinimo, patikrinti sprendinį ir tik tada pateikti kontekstinį atsakymą. Jei atsakymas nesuderinamas su pradine sąlyga, reikia taisyti ne galutinį skaičių, o rasti pirmą nepagrįstą sprendimo žingsnį.