Tikimybių skirstiniai

Atsitiktinis dydis

Atsitiktinis dydis $X$ – tai dydis, kurio reikšmė priklauso nuo atsitiktinio bandymo rezultato. Kiekviena reikšmė turi tam tikrą tikimybę.

Diskretinis atsitiktinis dydis įgyja baigtinį arba skaičiuotinį reikšmių skaičių.

Diskretinio atsitiktinio dydžio skirstinys – tai lentelė, kurioje surašytos visos galimos reikšmės ir jų tikimybės:

$X$	$x_1$	$x_2$	$\ldots$	$x_n$
$P$	$p_1$	$p_2$	$\ldots$	$p_n$

Svarbi savybė: $p_1 + p_2 + \ldots + p_n = 1$ .

Pavyzdys 1. Metamas kauliukas. Atsitiktinis dydis $X$ – iškritusių akučių skaičius. Jo skirstinys:

$X$	1	2	3	4	5	6
$P$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$

Vidurkis (matematinė viltis)

Atsitiktinio dydžio vidurkis arba matematinė viltis:

$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \ldots + x_n p_n$

Vidurkis parodo, kokią reikšmę „vidutiniškai" tikimės gauti atliekant daug bandymų.

Pavyzdys 2. Raskime kauliuko metimo vidurkį:

$E(X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6} = \frac{21}{6} = 3{,}5$

Pavyzdys 3. Loterijoje 100 bilietų: 1 laimi 50 €, 4 laimi 10 €, 95 nelaimi nieko. Bilieto kaina 2 €. Koks vidutinis laimėjimas?

$X$ (grynasis pelnas)	$48$	$8$	$-2$
$P$	$\frac{1}{100}$	$\frac{4}{100}$	$\frac{95}{100}$

$E(X) = 48 \cdot \frac{1}{100} + 8 \cdot \frac{4}{100} + (-2) \cdot \frac{95}{100} = 0{,}48 + 0{,}32 - 1{,}9 = -1{,}1$

Vidutiniškai žaidėjas praranda 1,10 € per bilietą.

Dispersija ir standartinis nuokrypis

Dispersija parodo, kaip plačiai atsitiktinio dydžio reikšmės pasiskirsčiusios aplink vidurkį:

$D(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 \cdot p_i$

Arba patogesne formule:

$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$

kur $E(X^2) = \sum x_i^2 \cdot p_i$ .

Standartinis nuokrypis – dispersijos kvadratinė šaknis:

$\sigma = \sqrt{D(X)}$

Pavyzdys 4. Raskime kauliuko metimo dispersiją ir standartinį nuokrypį.

$E(X^2) = 1^2 \cdot \frac{1}{6} + 2^2 \cdot \frac{1}{6} + \ldots + 6^2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1+4+9+16+25+36}{6} = \frac{91}{6}$

$D(X) = \frac{91}{6} - \left(\frac{7}{2}\right)^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12} \approx 2{,}92$

$\sigma = \sqrt{\frac{35}{12}} \approx 1{,}71$

Bernulio bandymas

Bernulio bandymas – tai bandymas, turintis tik dvi baigtis:

Sėkmė (tikimybė $p$ )
Nesėkmė (tikimybė $q = 1 - p$ )

Pavyzdžiai: monetos metimas (herbas/skaičius), egzamino laikymas (išlaikė/neišlaikė), šūvis (pataikė/nepataikė).

Binominis skirstinys

Jei atliekame $n$ nepriklausomų Bernulio bandymų, kiekvieno sėkmės tikimybė $p$ , tai tikimybė, kad sėkmių skaičius $X = k$ :

$P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

kur $k = 0, 1, 2, \ldots, n$ .

Sakome, kad $X$ turi binominį skirstinį su parametrais $n$ ir $p$ : $X \sim B(n, p)$ .

Binominio skirstinio vidurkis ir dispersija:

$E(X) = np, \qquad D(X) = np(1-p)$

Pavyzdys 5. Moneta metama 5 kartus. Kokia tikimybė, kad herbas iškris lygiai 3 kartus?

$n = 5$ , $k = 3$ , $p = 0{,}5$ :

$P(X=3) = C_5^3 \cdot 0{,}5^3 \cdot 0{,}5^2 = 10 \cdot 0{,}125 \cdot 0{,}25 = 0{,}3125$

Pavyzdys 6. Šaulys pataiko į taikinį su tikimybe $0{,}7$ . Jis šauna 4 kartus. Kokia tikimybė, kad pataikys bent 3 kartus?

$P(X \geq 3) = P(X=3) + P(X=4)$

$P(X=3) = C_4^3 \cdot 0{,}7^3 \cdot 0{,}3^1 = 4 \cdot 0{,}343 \cdot 0{,}3 = 0{,}4116$

$P(X=4) = C_4^4 \cdot 0{,}7^4 \cdot 0{,}3^0 = 1 \cdot 0{,}2401 \cdot 1 = 0{,}2401$

$P(X \geq 3) = 0{,}4116 + 0{,}2401 = 0{,}6517$

Normaliojo skirstinio idėja

Kai Bernulio bandymų skaičius $n$ yra labai didelis, binominis skirstinys artėja prie normaliojo skirstinio (Gauso kreivės, „varpinės kreivės").

Normalusis skirstinys apibūdinamas dviem parametrais:

Vidurkis $\mu$ – kreivės centro vieta
Standartinis nuokrypis $\sigma$ – kreivės „plotis"

Žymima $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ .

Normaliojo skirstinio tankio funkcija:

$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

VBE egzamine šios formulės atmintinai mokėti nereikia – svarbu suprasti jos prasmę ir savybes.

Taisyklė 68–95–99,7

Normaliojo skirstinio atveju duomenys pasiskirsto taip:

Intervalas	Duomenų dalis
$\mu \pm \sigma$	apie 68 %
$\mu \pm 2\sigma$	apie 95 %
$\mu \pm 3\sigma$	apie 99,7 %

Pavyzdys 7. Mokinių ūgis pasiskirstęs pagal normalųjį skirstinį su $\mu = 170$ cm ir $\sigma = 8$ cm.

Apie 68 % mokinių ūgis yra nuo $170 - 8 = 162$ cm iki $170 + 8 = 178$ cm.
Apie 95 % mokinių ūgis yra nuo $170 - 16 = 154$ cm iki $170 + 16 = 186$ cm.
Apie 99,7 % mokinių ūgis yra nuo $170 - 24 = 146$ cm iki $170 + 24 = 194$ cm.

Pavyzdys 8. Gamykla gamina varžtus. Jų ilgis pasiskirstęs normaliai: $\mu = 50$ mm, $\sigma = 0{,}5$ mm. Kiek procentų varžtų ilgis bus nuo 49 mm iki 51 mm?

$49 = 50 - 2 \cdot 0{,}5 = \mu - 2\sigma$ ir $51 = 50 + 2 \cdot 0{,}5 = \mu + 2\sigma$ .

Pagal 68–95–99,7 taisyklę: apie 95 % varžtų ilgis bus šiame intervale.

Praktinė interpretacija

Normalusis skirstinys plačiai taikomas realiame gyvenime:

Egzaminų balai – dauguma mokinių gauna vidutinius balus, mažuma – labai aukštus ar labai žemus.
Žmonių ūgis – dauguma žmonių yra artimi vidutiniam ūgiui.
Matavimo paklaidos – paklaidos paprastai pasiskirsto normaliai.
Gamybos kokybė – produktų parametrai svyruoja aplink vidutinę reikšmę.

Normaliojo skirstinio kreivė yra simetriška vidurkio $\mu$ atžvilgiu: kairė ir dešinė pusės yra veidrodinės.

Savarankiško darbo užduotys

Atsitiktinis dydis $X$ turi tokį skirstinį:

$X$	1	2	3	4
$P$	0,1	0,3	0,4	0,2

Raskite $E(X)$ .

Raskite ankstesnės užduoties atsitiktinio dydžio dispersiją $D(X)$ ir standartinį nuokrypį $\sigma$ .
Moneta metama 6 kartus. Kokia tikimybė, kad herbas iškris lygiai 4 kartus?
Egzaminą laiko 10 mokinių. Kiekvieno išlaikymo tikimybė $0{,}8$ . Kokia tikimybė, kad visi 10 išlaikys?
Raskite atsitiktinio dydžio $X \sim B(8; 0{,}5)$ vidurkį ir dispersiją.
Šaulys pataiko su tikimybe $0{,}6$ . Jis šauna 5 kartus. Kokia tikimybė, kad pataikys bent 4 kartus?
Mokinių matematikos VBE balai pasiskirstę normaliai: $\mu = 45$ , $\sigma = 12$ . Kokiame intervale yra apie 68 % mokinių balų?
Kūdikių gimimo svoris pasiskirstęs normaliai su vidurkiu $\mu = 3{,}4$ kg ir standartiniu nuokrypiu $\sigma = 0{,}5$ kg. Kokiame intervale bus apie 95 % kūdikių svoris?
Fabriko gaminių ilgis pasiskirstęs normaliai: $\mu = 100$ mm, $\sigma = 2$ mm. Kiek procentų gaminių ilgis bus nuo 96 mm iki 104 mm?
Kokia tikimybė, kad metant kauliuką 4 kartus, šešetukas iškris bent vieną kartą? (Naudokite binominį skirstinį ir papildinio formulę.)