Aritmetinė progresija

Apibrėžimas

Aritmetinė progresija – tai seka, kurioje kiekvienas narys (pradedant antruoju) gaunamas prie ankstesnio nario pridedant pastovų skaičių $d$ , vadinamą skirtumu (arba žingsniu):

$a_{n+1} = a_n + d$

Jei $d > 0$ – progresija didėjanti
Jei $d < 0$ – progresija mažėjanti
Jei $d = 0$ – visi nariai vienodi (pastovioji seka)

Pavyzdžiai:

$2, 5, 8, 11, 14, \ldots$ — $d = 3$
$10, 7, 4, 1, -2, \ldots$ — $d = -3$
$3, 3, 3, 3, \ldots$ — $d = 0$

Bendrasis narys

$n$ -asis aritmetinės progresijos narys:

$a_n = a_1 + (n - 1)d$

čia:

$a_1$ – pirmasis narys
$d$ – skirtumas
$n$ – nario eilės numeris

Sumos formulė

Pirmųjų $n$ narių suma:

$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

arba, įstačius $a_n$ išraišką:

$S_n = \frac{n(2a_1 + (n-1)d)}{2}$

Geometrinė prasmė: suma $S_n$ lygi $n$ stačiakampių, kurių aukščiai sudaro aritmetinę progresiją, plotų sumai. Tai taip pat lygu $n \cdot \bar{a}$ , kur $\bar{a} = \frac{a_1 + a_n}{2}$ – aritmetinis vidurkis.

Aritmetinio vidurkio savybė

Bet kuriam aritmetinės progresijos nariui (išskyrus pirm. ir paskutinį):

$a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$

Tai reiškia, kad kiekvienas narys yra savo kaimynų aritmetinis vidurkis.

Pavyzdys 1

Raskite 20-ąjį aritmetinės progresijos $3, 7, 11, 15, \ldots$ narį.

Duota: $a_1 = 3$ , $d = 7 - 3 = 4$ , $n = 20$ .

$a_{20} = a_1 + (20 - 1) \cdot d = 3 + 19 \cdot 4 = 3 + 76 = 79$

Atsakymas: $a_{20} = 79$

Pavyzdys 2

Raskite pirmųjų 50 natūraliųjų skaičių sumą.

Seka $1, 2, 3, \ldots, 50$ yra aritmetinė progresija su $a_1 = 1$ , $a_{50} = 50$ , $n = 50$ .

$S_{50} = \frac{50 \cdot (1 + 50)}{2} = \frac{50 \cdot 51}{2} = 1275$

Atsakymas: $S_{50} = 1275$

Pavyzdys 3

Aritmetinės progresijos $a_3 = 10$ ir $a_7 = 26$ . Raskite $a_1$ , $d$ ir $S_{10}$ .

Iš bendrojo nario formulės:

$a_3 = a_1 + 2d = 10$
$a_7 = a_1 + 6d = 26$

Atimame pirmąją lygtį iš antrosios:

$4d = 16, \quad d = 4$

Tada: $a_1 = 10 - 2 \cdot 4 = 2$

$S_{10} = \frac{10(2 \cdot 2 + 9 \cdot 4)}{2} = \frac{10(4 + 36)}{2} = \frac{10 \cdot 40}{2} = 200$

Atsakymas: $a_1 = 2$ , $d = 4$ , $S_{10} = 200$

Pavyzdys 4

Kino salėje pirmoje eilėje yra 20 vietų, kiekvienoje kitoje eilėje yra 2 vietomis daugiau. Kiek vietų yra 15 eilučių salėje?

Turime aritmetinę progresiją: $a_1 = 20$ , $d = 2$ , $n = 15$ .

$S_{15} = \frac{15(2 \cdot 20 + 14 \cdot 2)}{2} = \frac{15(40 + 28)}{2} = \frac{15 \cdot 68}{2} = 510$

Atsakymas: salėje yra 510 vietų.

Pavyzdys 5

Tarp skaičių 5 ir 35 įterpkite 5 skaičius taip, kad gautųsi aritmetinė progresija.

Turėsime 7 narius: $a_1 = 5$ , $a_7 = 35$ .

$a_7 = a_1 + 6d \implies 35 = 5 + 6d \implies d = 5$

Progresija: $5, 10, 15, 20, 25, 30, 35$

Savarankiško darbo užduotys

Raskite aritmetinės progresijos $-4, -1, 2, 5, \ldots$ 30-ąjį narį.
Apskaičiuokite sumą: $2 + 5 + 8 + 11 + \ldots + 98$ .
Aritmetinės progresijos $a_1 = 7$ ir $d = -3$ . Kuris narys pirmasis taps neigiamas?
Žinoma, kad $a_5 = 17$ ir $a_{12} = 45$ . Raskite $a_1$ ir $d$ .
Raskite pirmųjų 100 lyginių natūraliųjų skaičių ( $2, 4, 6, \ldots, 200$ ) sumą.
Aritmetinės progresijos pirmasis narys $a_1 = 100$ , o $d = -7$ . Kiek teigiamų narių turi ši progresija?
Raskite tris skaičius, sudarančius aritmetinę progresiją, jei jų suma lygi 27, o sandauga lygi 504.
Darbuotojas pirmą mėnesį uždirbo 800 €. Kiekvieną kitą mėnesį atlyginimas didėja 50 €. Kiek jis uždirbė per metus (12 mėnesių)?
Aritmetinės progresijos $S_n = 3n^2 + 2n$ . Raskite $a_1$ , $d$ ir $a_{10}$ .
Pirmųjų $n$ aritmetinės progresijos narių suma $S_n = 100$ , $a_1 = 1$ , $d = 3$ . Raskite $n$ .