Geometrinė progresija

Geometrinė progresija

Apibrėžimas

Geometrinė progresija – tai seka, kurioje kiekvienas narys (pradedant antruoju) gaunamas ankstesnį narį padauginus iš pastovaus skaičiaus $q$, vadinamo vardikliu:

$b_{n+1} = b_n \cdot q, \quad q \neq 0$

• Jei $q > 1$ – progresija didėjanti (kai $b_1 > 0$)
• Jei $0 < q < 1$ – progresija mažėjanti (kai $b_1 > 0$)
• Jei $q < 0$ – nariai kaitalioja ženklą

Pavyzdžiai:

• $2, 6, 18, 54, \ldots$ — $q = 3$
• $100, 50, 25, 12{,}5, \ldots$ — $q = 0{,}5$
• $1, -3, 9, -27, \ldots$ — $q = -3$

Bendrasis narys

$n$-asis geometrinės progresijos narys:

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

čia:

• $b_1$ – pirmasis narys
• $q$ – vardiklis
• $n$ – nario eilės numeris

Vardiklį galima rasti: $q = \dfrac{b_{n+1}}{b_n}$

Sumos formulė

Pirmųjų $n$ narių suma (kai $q \neq 1$):

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} = b_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}$

Kai $q = 1$: $S_n = n \cdot b_1$

Begalinės geometrinės progresijos suma

Jei $|q| < 1$, geometrinė progresija yra konverguojanti – jos nariai artėja prie nulio. Tokios begalinės progresijos suma:

$S = \frac{b_1}{1 - q}, \quad |q| < 1$

Ši formulė naudojama, kai reikia suskaičiuoti begalinio skaičiaus narių sumą, pvz., periodiniams dešimtainiams skaičiams užrašyti trupmena.

Geometrinio vidurkio savybė

Bet kuriam geometrinės progresijos nariui (išskyrus pirm. ir pask.):

$b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$

arba lygiavertiškai:

$b_n = \pm\sqrt{b_{n-1} \cdot b_{n+1}}$

Tai reiškia, kad kiekvienas narys yra savo kaimynų geometrinis vidurkis.

Pavyzdys 1

Raskite 8-ąjį geometrinės progresijos $3, 6, 12, 24, \ldots$ narį.

Duota: $b_1 = 3$, $q = \frac{6}{3} = 2$, $n = 8$.

$b_8 = 3 \cdot 2^{8-1} = 3 \cdot 2^7 = 3 \cdot 128 = 384$

Atsakymas: $b_8 = 384$

Pavyzdys 2

Raskite pirmųjų 6 narių sumą geometrinės progresijos $1, 3, 9, 27, \ldots$

Duota: $b_1 = 1$, $q = 3$, $n = 6$.

$S_6 = \frac{1 \cdot (3^6 - 1)}{3 - 1} = \frac{729 - 1}{2} = \frac{728}{2} = 364$

Atsakymas: $S_6 = 364$

Pavyzdys 3

Raskite begalinės geometrinės progresijos $8, 4, 2, 1, \ldots$ sumą.

Duota: $b_1 = 8$, $q = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

Kadangi $|q| = \frac{1}{2} < 1$, taikome formulę:

$S = \frac{8}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{8}{\frac{1}{2}} = 16$

Atsakymas: $S = 16$

Pavyzdys 4

Geometrinės progresijos $b_3 = 12$ ir $b_6 = 96$. Raskite $b_1$ ir $q$.

$b_6 = b_3 \cdot q^3 \implies 96 = 12 \cdot q^3 \implies q^3 = 8 \implies q = 2$

$b_3 = b_1 \cdot q^2 \implies 12 = b_1 \cdot 4 \implies b_1 = 3$

Atsakymas: $b_1 = 3$, $q = 2$

Pavyzdys 5

Užrašykite periodinį skaičių $0{,}333\ldots$ paprastąja trupmena.

$0{,}333\ldots = 0{,}3 + 0{,}03 + 0{,}003 + \ldots$

Tai begalinė geometrinė progresija su $b_1 = 0{,}3$ ir $q = 0{,}1$:

$S = \frac{0{,}3}{1 - 0{,}1} = \frac{0{,}3}{0{,}9} = \frac{1}{3}$

Atsakymas: $0{,}333\ldots = \dfrac{1}{3}$

Aritmetinės ir geometrinės progresijų palyginimas

Savarankiško darbo užduotys

1. Raskite 10-ąjį geometrinės progresijos $5, 10, 20, \ldots$ narį.

2. Apskaičiuokite pirmųjų 8 narių sumą geometrinės progresijos $1, 2, 4, 8, \ldots$

3. Geometrinės progresijos $b_1 = 4$ ir $q = \dfrac{1}{2}$. Raskite begalinės progresijos sumą.

4. Raskite geometrinės progresijos vardiklį $q$, jei $b_1 = 3$ ir $b_5 = 48$.

5. Raskite tris skaičius, sudarančius geometrinę progresiją, jei jų suma lygi 21, o sandauga lygi 216.

6. Užrašykite $0{,}666\ldots$ paprastąja trupmena naudodami begalinės geometrinės progresijos sumą.

7. Geometrinės progresijos $b_2 = 6$ ir $b_5 = 162$. Raskite $b_1$, $q$ ir $S_5$.

8. Kamuoliukas kiekvieną kartą atšoka $\dfrac{3}{4}$ ankstesnio aukščio. Jei jis numestas iš 16 m aukščio, kokį bendrą atstumą (aukštyn ir žemyn) jis nukeliaus?

9. Ar seka $4, -8, 16, -32, \ldots$ yra geometrinė progresija? Jei taip, raskite $b_7$ ir $S_7$.

10. Geometrinės progresijos pirmųjų 4 narių suma lygi 40, o vardiklis $q = 3$. Raskite $b_1$.