Sekų taikymai

Sudėtinės palūkanos

Jei pradinė suma $P$ investuojama su metine palūkanų norma $r$ (dešimtaine trupmena), tai po $n$ metų sukaupta suma:

$A = P(1 + r)^n$

čia:

$P$ – pradinė suma (kapitalas)
$r$ – metinė palūkanų norma (pvz., 5 % = 0,05)
$n$ – metų skaičius
$A$ – galutinė suma

Ryšys su geometrine progresija: sumos kiekvienais metais sudaro geometrinę progresiją su $b_1 = P(1 + r)$ ir $q = 1 + r$ .

Palūkanų skaičiavimas dažniau nei kartą per metus

Jei palūkanos skaičiuojamos $m$ kartų per metus:

$A = P\left(1 + \frac{r}{m}\right)^{mn}$

Skaičiavimo dažnumas	$m$
Kasmet	1
Kas pusmetį	2
Kas ketvirtį	4
Kas mėnesį	12

Pavyzdys 1

Į banką įdėta 2000 € su 6 % metinėmis sudėtinėmis palūkanomis. Kokia suma bus po 5 metų?

$A = 2000 \cdot (1 + 0{,}06)^5 = 2000 \cdot 1{,}06^5$

$1{,}06^5 \approx 1{,}3382$

$A \approx 2000 \cdot 1{,}3382 = 2676{,}45 \text{ EUR}$

Atsakymas: po 5 metų bus apie 2676,45 €.

Pavyzdys 2

Per kiek metų 1000 € padvigubės, jei metinė palūkanų norma 8 %?

Reikia rasti $n$ , kad $A = 2000$ :

$2000 = 1000 \cdot 1{,}08^n$

$1{,}08^n = 2$

Logaritmuojame:

$n = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}08} = \frac{0{,}6931}{0{,}0770} \approx 9$

Atsakymas: pinigai padvigubės maždaug po 9 metų.

Greitoji taisyklė „72": padalijus 72 iš palūkanų normos procentais, gausite apytikslį dvigubėjimo laiką. $72 / 8 = 9$ metai.

Eksponentinio augimo modelis

Jei populiacija auga pastoviu procentu kas laiko vienetą:

$N(t) = N_0 \cdot (1 + r)^t$

čia:

$N_0$ – pradinė populiacija
$r$ – augimo koeficientas per laiko vienetą
$t$ – laiko vienetų skaičius

Pavyzdys 3

Bakterijų kolonijoje yra 500 bakterijų. Kas valandą jų skaičius dvigubėja. Kiek bakterijų bus po 8 valandų?

$N(8) = 500 \cdot 2^8 = 500 \cdot 256 = 128\,000$

Atsakymas: po 8 valandų bus 128 000 bakterijų.

Eksponentinio mažėjimo modelis

Jei kiekis mažėja pastoviu procentu:

$N(t) = N_0 \cdot (1 - r)^t$

čia $r$ – mažėjimo koeficientas ( $0 < r < 1$ ).

Pusėjimo trukmė

Pusėjimo trukmė $T_{1/2}$ – tai laikas, per kurį medžiagos kiekis sumažėja perpus.

Po $t$ laiko vienetų likęs kiekis:

$N(t) = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$

Pavyzdys 4

Radioaktyvios medžiagos pusėjimo trukmė yra 3 metai. Pradinė masė 80 g. Kokia masė liks po 12 metų?

Per 12 metų įvyks $\frac{12}{3} = 4$ pusėjimo periodai:

$N(12) = 80 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 = 80 \cdot \frac{1}{16} = 5 \text{ g}$

Atsakymas: po 12 metų liks 5 g medžiagos.

Pavyzdys 5

Automobilio vertė kasmet mažėja 15 %. Automobilis kainavo 20 000 €. Kokia jo vertė po 4 metų?

$V(4) = 20\,000 \cdot (1 - 0{,}15)^4 = 20\,000 \cdot 0{,}85^4$

$0{,}85^4 \approx 0{,}5220$

$V(4) \approx 20\,000 \cdot 0{,}5220 = 10\,440 \text{ EUR}$

Atsakymas: po 4 metų automobilis kainuos apie 10 440 €.

Pavyzdys 6

Jonas kiekvieną mėnesio pradžioje įneša 200 € į sąskaitą su 6 % metinėmis palūkanomis (0,5 % per mėnesį). Kiek pinigų bus po 2 metų (24 mėnesių)?

Kiekvienas įnašas auga kaip geometrinė progresija. Bendrai sukaupta suma:

$S = 200 \cdot \frac{1{,}005 \cdot (1{,}005^{24} - 1)}{1{,}005 - 1}$

$1{,}005^{24} \approx 1{,}1272$

$S \approx 200 \cdot \frac{1{,}005 \cdot 0{,}1272}{0{,}005} = 200 \cdot \frac{0{,}1278}{0{,}005} = 200 \cdot 25{,}56 \approx 5112 \text{ EUR}$

Atsakymas: po 2 metų bus apie 5112 €.

Kaip pasirinkti modelį?

Situacija	Modelis	Formulė
Pinigai banke	Sudėtinės palūkanos	$A = P(1 + r)^n$
Populiacijos augimas	Eksponentinis augimas	$N = N_0(1 + r)^t$
Nusidėvėjimas	Eksponentinis mažėjimas	$N = N_0(1 - r)^t$
Radioaktyvus skilimas	Pusėjimo trukmė	$N = N_0 \cdot (1/2)^{t/T}$
Pastovus prieaugis	Aritmetinė progresija	$a_n = a_1 + (n-1)d$
Pastovus daugiklis	Geometrinė progresija	$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Savarankiško darbo užduotys

Į banką įdėta 5000 € su 4 % metinėmis sudėtinėmis palūkanomis. Kokia suma bus po 10 metų?
Per kiek metų 3000 € suma išaugs iki 5000 €, jei metinė palūkanų norma 7 %? (Naudokite logaritmus.)
Miesto gyventojų skaičius yra 50 000 ir kasmet auga 3 %. Koks bus gyventojų skaičius po 10 metų?
Radioaktyvios medžiagos pusėjimo trukmė yra 5 metai. Pradinė masė 200 g. Kokia masė liks po 20 metų?
Kompiuteris kainavo 1200 € ir jo vertė kasmet mažėja 25 %. Po kelerių metų jo vertė bus mažesnė nei 300 €?
Bakterijų skaičius trigubėja kas 2 valandas. Pradžioje yra 100 bakterijų. Kiek jų bus po 10 valandų?
Tėvai gimimo dieną padeda vaikui 1000 € su 5 % metinėmis sudėtinėmis palūkanomis. Kokia suma bus, kai vaikas sulauks 18 metų?
Jonas kas mėnesį taupo po 150 €, o pinigai banke auga 0,4 % per mėnesį. Kiek jis sutaupys per 3 metus?
Šalyje infliacija yra 6 % per metus. Kiek po 5 metų kainuos prekė, kuri dabar kainuoja 50 €?
Vaistas organizme yra skaidomas – kas valandą jo lieka 80 %. Pacientas gavo 500 mg vaisto. Po kiek valandų organizme liks mažiau nei 100 mg?