Trigonometrinės funkcijos

Trigonometrinės funkcijos

Vienetinis apskritimas

Vienetinis apskritimas – tai apskritimas, kurio centras yra koordinačių pradžioje, o spindulys lygus 1.

Taškas ant vienetinio apskritimo, atitinkantis kampą $\alpha$, turi koordinates:

$P(\cos\alpha;\;\sin\alpha)$

Tai reiškia:

• $\cos\alpha$ – taško x koordinatė
• $\sin\alpha$ – taško y koordinatė

Tangento apibrėžimas:

$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, \quad \cos\alpha \neq 0$

Pagrindinės kampų reikšmės

Patarimas: lengva prisiminti $\sin$ reikšmes standartiniams kampams naudojant seką $\frac{\sqrt{0}}{2},\;\frac{\sqrt{1}}{2},\;\frac{\sqrt{2}}{2},\;\frac{\sqrt{3}}{2},\;\frac{\sqrt{4}}{2}$ kampams $0°, 30°, 45°, 60°, 90°$.

Ženklai ketvirčiuose

Vienetinis apskritimas padalijamas į keturis ketvirčius:

Taisyklė „Visi Studentai Tikrai Cool" (pagal ketvirčių eiliškumą): visos teigiamos → tik sin → tik tan → tik cos.

Periodai

Trigonometrinės funkcijos yra periodinės:

• $\sin\alpha$ ir $\cos\alpha$ periodas yra $T = 2\pi$ (arba $360°$)
• $\tan\alpha$ periodas yra $T = \pi$ (arba $180°$)

Tai reiškia:

$\sin(\alpha + 2\pi) = \sin\alpha, \quad \cos(\alpha + 2\pi) = \cos\alpha, \quad \tan(\alpha + \pi) = \tan\alpha$

Grafikų apžvalga

Funkcija $y = \sin x$

• Apibrėžimo sritis: $D(f) = \mathbb{R}$
• Reikšmių sritis: $E(f) = [-1;\;1]$
• Periodas: $2\pi$
• Nelyginė funkcija: $\sin(-x) = -\sin x$
• Nuliai: $x = \pi n,\; n \in \mathbb{Z}$

Funkcija $y = \cos x$

• Apibrėžimo sritis: $D(f) = \mathbb{R}$
• Reikšmių sritis: $E(f) = [-1;\;1]$
• Periodas: $2\pi$
• Lyginė funkcija: $\cos(-x) = \cos x$
• Nuliai: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n,\; n \in \mathbb{Z}$

Funkcija $y = \tan x$

• Apibrėžimo sritis: $D(f) = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{2} + \pi n,\; n \in \mathbb{Z}\right\}$
• Reikšmių sritis: $E(f) = \mathbb{R}$
• Periodas: $\pi$
• Nelyginė funkcija: $\tan(-x) = -\tan x$
• Vertikalios asimptotės: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$

Pavyzdys 1

Raskite $\sin 150°$, $\cos 150°$ ir $\tan 150°$.

Kampas $150° = 180° - 30°$ yra II ketvirtyje.

• $\sin 150° = \sin(180° - 30°) = \sin 30° = \dfrac{1}{2}$
• $\cos 150° = \cos(180° - 30°) = -\cos 30° = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
• $\tan 150° = \dfrac{\sin 150°}{\cos 150°} = \dfrac{1/2}{-\sqrt{3}/2} = -\dfrac{1}{\sqrt{3}} = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

Pavyzdys 2

Raskite $\cos 315°$.

Kampas $315° = 360° - 45°$ yra IV ketvirtyje. Kosinusas IV ketvirtyje teigiamas:

$\cos 315° = \cos(360° - 45°) = \cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Pavyzdys 3

Kampas $\alpha$ yra III ketvirtyje ir $\sin\alpha = -\dfrac{3}{5}$. Raskite $\cos\alpha$.

Naudojame pagrindinę tapatybę:

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$

$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

$\cos\alpha = \pm\frac{4}{5}$

Kadangi $\alpha$ yra III ketvirtyje, $\cos\alpha < 0$, todėl:

$\cos\alpha = -\frac{4}{5}$

Pavyzdys 4

Konvertuokite $\dfrac{5\pi}{6}$ radiano į laipsnius.

$\frac{5\pi}{6} = \frac{5 \cdot 180°}{6} = 150°$

Rezultato patikra

Trigonometrinę reikšmę galima greitai patikrinti pagal ketvirtį ir funkcijos reikšmių sritį. Sinusas ir kosinusas visada priklauso intervalui $[-1;1]$, o ženklas turi sutapti su vienetinio apskritimo koordinatės ženklu. Tangento ženklas gaunamas dalijant sinuso ir kosinuso ženklus. Jei kampas pakeistas keliais pilnais apsisukimais, periodiškumas reikšmės nekeičia.

Skaitiniai atsakymai priklauso nuo skaičiuotuvo režimo. Kai argumentas užrašytas su $\pi$, naudojami radianai; kai pateiktas laipsnio ženklas, naudojami laipsniai. Tikslioji reikšmė, pavyzdžiui, $\sqrt3/2$, yra informatyvesnė už anksti suapvalintą dešimtainę trupmeną.

Funkcijos grafiką patogu atkurti iš vieno periodo atraminių taškų ir tada pakartoti jį į abi puses. Sinuso grafikas prasideda nuo nulio ir kyla, kosinuso – nuo vieneto, o tangento šakos yra atskirtos vertikaliomis asimptotėmis. Toks eskizas leidžia vizualiai patikrinti apskaičiuotą ženklą, periodą ir galimų lygties sprendinių skaičių.

Savarankiško darbo užduotys

1. Raskite $\sin 210°$, $\cos 210°$ ir $\tan 210°$.

2. Apskaičiuokite $\sin^2 60° + \cos^2 60°$. Kokią tapatybę tai patvirtina?

3. Konvertuokite į radianus: a) $120°$; b) $225°$; c) $330°$.

4. Nustatykite, kuriame ketvirtyje yra kampas $\alpha$, jei $\sin\alpha > 0$ ir $\cos\alpha < 0$.

5. Raskite $\tan 240°$, naudodamiesi $\sin 240°$ ir $\cos 240°$ reikšmėmis.

6. Kampas $\alpha$ yra IV ketvirtyje ir $\cos\alpha = \dfrac{5}{13}$. Raskite $\sin\alpha$ ir $\tan\alpha$.

7. Apskaičiuokite: $\sin 90° + \cos 180° + \tan 0° + \sin 270°$.

8. Funkcijos $y = \sin x$ grafikas kerta $Ox$ ašį taškuose, kuriuose $x = \pi n$. Raskite artimiausius nuliu taškus, kai $x \in [-2\pi;\;2\pi]$.

9. Raskite $\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)$. Paaiškinkite, kodėl kosinusas yra lyginė funkcija.

10. Kurioms $x$ reikšmėms $\tan x$ neegzistuoja intervale $[0;\;2\pi]$? Paaiškinkite kodėl.