egzas.lt logoegzas.lt
Grįžti į temą

Pagrindinės trigonometrinės tapatybės

Orientacinė trukmė: ~25 min

Pagrindinės trigonometrinės tapatybės

Pagrindinė trigonometrinė tapatybė

Svarbiausia trigonometrinė tapatybė, galiojanti visiems kampams α\alpha:

sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1

Iš jos galima išreikšti:

  • sin⁡2α=1−cos⁡2α\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha
  • cos⁡2α=1−sin⁡2α\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha

Taip pat naudingos tapatybės:

tan⁡α=sin⁡αcos⁡α,cos⁡α≠0\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, \quad \cos\alpha \neq 0

1+tan⁡2α=1cos⁡2α,cos⁡α≠01 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}, \quad \cos\alpha \neq 0

Sudėties ir skirtumo formulės

Sinuso sudėties formulės

sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta

sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta

Kosinuso sudėties formulės

cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta

cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta

Tangento sudėties formulės

tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}

tan⁡(α−β)=tan⁡α−tan⁡β1+tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta}

Dvigubo kampo formulės

Kai β=α\beta = \alpha, sudėties formulės virsta dvigubo kampo formulėmis:

sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha

cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha

Kosinuso dvigubo kampo formulę galima perrašyti dar dviem būdais:

cos⁡2α=2cos⁡2α−1=1−2sin⁡2α\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha

tan⁡2α=2tan⁡α1−tan⁡2α\tan 2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}

Iš dvigubo kampo formulių galima gauti pusės kampo ryšius:

cos⁡2α=1+cos⁡2α2,sin⁡2α=1−cos⁡2α2\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}, \qquad \sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}

Redukcijos formulės

Redukcijos formulės leidžia bet kokio kampo trigonometrines funkcijas išreikšti per pirmojo ketvirčio kampą.

FormulėRezultatas
sin⁡(π−α)\sin(\pi - \alpha)sin⁡α\sin\alpha
cos⁡(π−α)\cos(\pi - \alpha)−cos⁡α-\cos\alpha
sin⁡(π+α)\sin(\pi + \alpha)−sin⁡α-\sin\alpha
cos⁡(π+α)\cos(\pi + \alpha)−cos⁡α-\cos\alpha
sin⁡(π2−α)\sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)cos⁡α\cos\alpha
cos⁡(π2−α)\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)sin⁡α\sin\alpha
sin⁡(2π−α)\sin(2\pi - \alpha)−sin⁡α-\sin\alpha
cos⁡(2π−α)\cos(2\pi - \alpha)cos⁡α\cos\alpha

Taisyklė: jei argumentas yra π2±α\frac{\pi}{2} \pm \alpha arba 3π2±α\frac{3\pi}{2} \pm \alpha, funkcija keičiasi (sin → cos, cos → sin). Jei π±α\pi \pm \alpha arba 2π±α2\pi \pm \alpha – funkcija nesikeičia. Ženklas nustatomas pagal pradinės funkcijos ženklą atitinkamame ketvirtyje.

Pavyzdys 1

Supaprastinkite reiškinį sin⁡2x+cos⁡2x+tan⁡2x\sin^2 x + \cos^2 x + \tan^2 x.

sin⁡2x+cos⁡2x+tan⁡2x=1+tan⁡2x=1cos⁡2x\sin^2 x + \cos^2 x + \tan^2 x = 1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}

Pavyzdys 2

Apskaičiuokite sin⁡75°\sin 75°.

sin⁡75°=sin⁡(45°+30°)=sin⁡45°cos⁡30°+cos⁡45°sin⁡30°\sin 75° = \sin(45° + 30°) = \sin 45°\cos 30° + \cos 45°\sin 30°

=22⋅32+22⋅12=6+24= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

Pavyzdys 3

Apskaičiuokite cos⁡2α\cos 2\alpha, jei sin⁡α=35\sin\alpha = \dfrac{3}{5}.

cos⁡2α=1−2sin⁡2α=1−2⋅925=1−1825=725\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 1 - 2 \cdot \frac{9}{25} = 1 - \frac{18}{25} = \frac{7}{25}

Pavyzdys 4

Supaprastinkite: sin⁡2α1+cos⁡2α\dfrac{\sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha}.

Skaitiklį išskleisti dvigubo kampo formule, vardiklį – taip pat:

sin⁡2α1+cos⁡2α=2sin⁡αcos⁡α1+2cos⁡2α−1=2sin⁡αcos⁡α2cos⁡2α=sin⁡αcos⁡α=tan⁡α\frac{\sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha} = \frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{1 + 2\cos^2\alpha - 1} = \frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{2\cos^2\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan\alpha

Pavyzdys 5

Įrodykite, kad cos⁡(α+β)cos⁡(α−β)=cos⁡2α−sin⁡2β\cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) = \cos^2\alpha - \sin^2\beta.

Kairė pusė:

(cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β)(cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β)(\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta)(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta)

=cos⁡2αcos⁡2β−sin⁡2αsin⁡2β= \cos^2\alpha\cos^2\beta - \sin^2\alpha\sin^2\beta

Pakeičiame cos⁡2β=1−sin⁡2β\cos^2\beta = 1 - \sin^2\beta ir sin⁡2α=1−cos⁡2α\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha:

=cos⁡2α(1−sin⁡2β)−(1−cos⁡2α)sin⁡2β= \cos^2\alpha(1 - \sin^2\beta) - (1 - \cos^2\alpha)\sin^2\beta

=cos⁡2α−cos⁡2αsin⁡2β−sin⁡2β+cos⁡2αsin⁡2β=cos⁡2α−sin⁡2β= \cos^2\alpha - \cos^2\alpha\sin^2\beta - \sin^2\beta + \cos^2\alpha\sin^2\beta = \cos^2\alpha - \sin^2\beta

Savarankiško darbo užduotys

  1. Supaprastinkite: sin⁡αcos⁡α+cos⁡αsin⁡α\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}. Užrašykite atsakymą kaip vieną trupmeną.

  2. Žinoma, kad cos⁡α=−513\cos\alpha = -\dfrac{5}{13} ir α∈(π;  3π2)\alpha \in (\pi;\;\frac{3\pi}{2}). Raskite sin⁡α\sin\alpha ir tan⁡α\tan\alpha.

  3. Apskaičiuokite cos⁡15°\cos 15°, naudodami sudėties formulę (cos⁡(45°−30°)\cos(45° - 30°)).

  4. Apskaičiuokite sin⁡2α\sin 2\alpha, jei cos⁡α=45\cos\alpha = \dfrac{4}{5} ir α\alpha yra I ketvirtyje.

  5. Supaprastinkite: cos⁡4x−sin⁡4x\cos^4 x - \sin^4 x.

  6. Įrodykite tapatybę: 1−cos⁡2αsin⁡2α=tan⁡α\dfrac{1 - \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} = \tan\alpha.

  7. Apskaičiuokite tan⁡75°\tan 75°, naudodami tangento sudėties formulę.

  8. Supaprastinkite: sin⁡(π2+α)+cos⁡(π+α)\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right) + \cos(\pi + \alpha).

  9. Raskite cos⁡2α\cos 2\alpha, jei tan⁡α=2\tan\alpha = 2.

  10. Apskaičiuokite tikslią reikšmę: sin⁡20°cos⁡40°+cos⁡20°sin⁡40°\sin 20°\cos 40° + \cos 20°\sin 40°.