Trigonometrinės nelygybės

Trigonometrinės nelygybės

Mokymosi tikslai

Baigę šią pamoką gebėsite:

• paaiškinti temą „Trigonometrinės nelygybės“ vartojant taisyklingas matematines sąvokas;
• pasirinkti tinkamą formulę ar sprendimo metodą ir pagrįsti jo sąlygas;
• išspręsti uždavinį nuosekliai, patikrinti rezultatą ir interpretuoti jį kontekste;

Prisimink

Matematinis sprendimas yra ne vien galutinis skaičius. Pirmiausia įvardykite duomenis ir ieškomą dydį, patikrinkite apibrėžimo sąlygas, pasirinkite metodą, o pabaigoje įstatykite atsakymą į pradinę sąlygą. Jei uždavinys turi matavimo vienetus ar prasminį intervalą, jie yra sprendimo dalis.

Sąvokos

• Matematinis modelis – formulė, lygtis, grafikas ar kita struktūra, kuria aprašoma nagrinėjama situacija.
• Apibrėžimo sąlyga – apribojimas, nusakantis, kurioms kintamojo reikšmėms reiškinys ir atlikti veiksmai turi prasmę.
• Ekvivalentus pertvarkymas – veiksmas, nepakeičiantis sprendinių aibės; jei veiksmas gali pridėti ar pašalinti sprendinių, būtina atskira patikra.
• Interpretacija – matematinio rezultato paaiškinimas pradinio uždavinio kalba, išlaikant vienetus ir tikslumą.

Teorija

Trigonometrinės nelygybės sprendiniai paprastai sudaro periodinių intervalų sąjungą. Patogu pirmiausia išspręsti nelygybę viename pagrindiniame periode, naudojant vienetinį apskritimą arba funkcijos grafiką, ir tada pridėti periodo kartotinį.

Nelygybės ribiniai taškai gaunami iš atitinkamos lygties. Tarp jų funkcijos ženklas ar palyginimas su konstanta nustatomas pagal grafiką arba bandomąjį tašką. Griežtos nelygybės ribų neįtraukia.

Kai reiškinys išskaidytas į sandaugą, sudaroma ženklų lentelė, tačiau būtina atsižvelgti į neapibrėžtumo taškus. Tangento nelygybėms intervalo negalima pervesti per vertikalią asimptotę tarsi funkcija būtų tolydi.

Sprendimo kokybę verta įvertinti dviem nepriklausomais būdais. Algebrinį rezultatą galima patikrinti įstatant jį į pradinę sąlygą, o grafinį ar skaitinį – palyginant su keliomis kontrolinėmis reikšmėmis. Toks patikrinimas padeda pastebėti neteisingą ženklą, pamestą sprendinį, netinkamą intervalo galą ar per anksti suapvalintą reikšmę. Jei skirtingi būdai nesutampa, galutinis atsakymas dar nėra pagrįstas.

Tą patį matematinį ryšį dažnai galima pateikti formule, lentele, grafiku ir žodiniu paaiškinimu. Perėjimas tarp šių vaizdavimo būdų padeda suprasti, ką reiškia parametrai ir kaip kinta rezultatas. Braižant eskizą pažymimi atraminiai taškai, ribos, ženklai ir ypatingos reikšmės; sudarant lentelę pasirenkamos reikšmės abipus svarbių taškų. Sprendime verta trumpai parašyti ne tik ką skaičiuojame, bet ir kodėl pasirinktas veiksmas yra leistinas. Taip atsakymas tampa atkuriamas ir patikrinamas net be skaičiuotuvo.

Pagrindinės formulės

$$\sin x>0\Leftrightarrow x\in(2\pi k;\pi+2\pi k)$$ $$\cos x>0\Leftrightarrow x\in(-\pi/2+2\pi k;\pi/2+2\pi k)$$ $$\tan x>0\text{ I ir III ketvirčiuose}$$

Formulėje esantys simboliai turi būti siejami su konkrečiais uždavinio dydžiais. Prieš skaičiuodami patikrinkite, ar visi dydžiai išreikšti suderintais vienetais ir ar tenkinamos formulės taikymo sąlygos.

Nuosekliai išspręstas pavyzdys

Uždavinys. Išspręskite $\sin x\ge1/2$.

1. Ribinės lygties $\sin x=1/2$ sprendiniai viename periode yra $\pi/6$ ir $5\pi/6$.
2. Vienetiniame apskritime sinusas yra bent 1/2 tarp šių kampų viršutinėje dalyje.
3. Pridedame pilnus periodus $2\pi k$.

Atsakymas. $x\in[\pi/6+2\pi k;5\pi/6+2\pi k]$, $k\in\mathbb Z$.

Sprendimo patikrai grįžkite į pradinę sąlygą: įvertinkite ženklą, dydžio eilę, vienetus ir tai, ar atsakymas priklauso leistinai sričiai. Apytikslę reikšmę apvalinkite tik paskutiniame žingsnyje, jei sąlyga nenurodo kitaip.

Dažnos klaidos

• Pateikti tik vieno periodo sprendinius, kai intervalas nenurodytas.
• Griežtoje nelygybėje įtraukti ribines lygties šaknis.
• Tangento intervalą kirsti per tašką, kuriame tangentas neapibrėžtas.

Savarankiška praktika

Spręskite užrašydami tarpinius veiksmus. Atsakymus atsiverskite tik užbaigę pasirinktą užduotį.

1. Išspręskite $\sin x<0$ viename periode $[0;2\pi)$.
2. Išspręskite $\cos x\le0$ intervale $[0;2\pi]$.
3. Išspręskite $\tan x>0$ intervale $[0;2\pi)$.
4. Išspręskite $2\cos x-1>0$ intervale $[0;2\pi)$.
5. Ar $x=\pi/2$ priklauso $\tan x\ge0$ sprendiniams?
6. Koks bendrojo sprendinio periodas nelygybei su $\sin x$?
7. Koks bendrojo sprendinio periodas nelygybei tik su $\tan x$?
8. Kodėl naudinga pirmiausia spręsti ribinę lygtį?

Atsakymai savitikrai

1. $(\pi;2\pi)$.
2. $[\pi/2;3\pi/2]$.
3. $(0;\pi/2)\cup(\pi;3\pi/2)$.
4. $[0;\pi/3)\cup(5\pi/3;2\pi)$.
5. Ne, tangentas ten neapibrėžtas.
6. $2\pi$.
7. $\pi$.
8. Jos šaknys padalija periodą į intervalus, kuriuose nelygybės ženklas nekinta.

Santrauka

Šioje pamokoje išnagrinėjote temą Trigonometrinės nelygybės. Patikimas darbo algoritmas yra toks: nustatyti sąlygas, pasirinkti modelį, atlikti veiksmus be ankstyvo apvalinimo, patikrinti sprendinį ir tik tada pateikti kontekstinį atsakymą. Jei atsakymas nesuderinamas su pradine sąlyga, reikia taisyti ne galutinį skaičių, o rasti pirmą nepagrįstą sprendimo žingsnį.