Trigonometrinės lygtys

Trigonometrinės lygtys

Lygtis $\sin x = a$

Lygtis $\sin x = a$ turi sprendinius tik kai $|a| \leq 1$.

Bendrasis sprendinys:

$x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Specialūs atvejai:

Lygtis $\cos x = a$

Lygtis $\cos x = a$ turi sprendinius tik kai $|a| \leq 1$.

Bendrasis sprendinys:

$x = \pm\arccos a + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Specialūs atvejai:

Lygtis $\tan x = a$

Lygtis $\tan x = a$ turi sprendinius visiems realiesiems $a$.

Bendrasis sprendinys:

$x = \arctan a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Pavyzdys 1

Išspręskite lygtį $\sin x = \dfrac{1}{2}$.

Taikome bendrąją formulę:

$x = (-1)^n \arcsin\frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Tai galima užrašyti dviem šakomis:

• Kai $n = 2k$: $x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k$
• Kai $n = 2k + 1$: $x = \pi - \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k$

Atsakymas: $x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi n$ arba $x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

Pavyzdys 2

Išspręskite lygtį $\cos x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

$x = \pm\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi n$

Kadangi $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \arccos\frac{\sqrt{3}}{2} = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$:

$x = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Atsakymas: $x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n$ arba $x = -\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

Pavyzdys 3

Išspręskite lygtį $\tan x = 1$.

$x = \arctan 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Atsakymas: $x = \dfrac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

Pavyzdys 4

Išspręskite lygtį $2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$.

Pažymime $t = \sin x$:

$2t^2 - t - 1 = 0$

Sprendžiame kvadratinę lygtį:

$D = 1 + 8 = 9, \quad t = \frac{1 \pm 3}{4}$

• $t_1 = 1$, tada $\sin x = 1$, todėl $x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n$
• $t_2 = -\dfrac{1}{2}$, tada $\sin x = -\dfrac{1}{2}$, todėl $x = (-1)^n\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) + \pi n$

Supaprastinus antrąjį atvejį:

$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{arba} \quad x = \pi + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$

Atsakymas: $x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n$; $x = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n$; $x = \dfrac{7\pi}{6} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

Pavyzdys 5

Išspręskite lygtį $\sin 2x = \cos x$.

Perrašome:

$2\sin x \cos x - \cos x = 0$

$\cos x(2\sin x - 1) = 0$

I atvejis: $\cos x = 0$, tada $x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n$

II atvejis: $\sin x = \dfrac{1}{2}$, tada $x = (-1)^n \cdot \dfrac{\pi}{6} + \pi n$

Atsakymas: $x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n$; $x = (-1)^n \cdot \dfrac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

Dažniausios klaidos

1. Pamiršta bendrasis narys: sprendinys $x = \frac{\pi}{6}$ yra nepilnas – reikia pridėti $+ 2\pi n$ arba $+ \pi n$.

2. Dalybos iš trigonometrinės funkcijos: negalima dalinti iš $\cos x$ ar $\sin x$, nes galima prarasti sprendinius, kai ta funkcija lygi nuliui. Vietoj to reikia iškelti bendrą daugiklį.

3. Neteisingas arccos neigiamo argumento naudojimas: $\arccos(-a) = \pi - \arccos a$, o ne $-\arccos a$.

4. Painiojamos formulės: sinuso ir kosinuso bendrieji sprendiniai turi skirtingą struktūrą. Sinusui: $(-1)^n$ su $\pi n$. Kosinusui: $\pm$ su $2\pi n$.

Savarankiško darbo užduotys

1. Išspręskite lygtį $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

2. Išspręskite lygtį $\cos x = \dfrac{1}{2}$.

3. Išspręskite lygtį $\tan x = -\sqrt{3}$.

4. Išspręskite lygtį $2\cos^2 x - 1 = 0$.

5. Išspręskite lygtį $\sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ir suraskite visus sprendinius intervale $[0;\;2\pi]$.

6. Išspręskite lygtį $\cos 2x = 0$.

7. Išspręskite lygtį $\sin^2 x - \sin x = 0$.

8. Išspręskite lygtį $2\sin x \cos x = \sin x$.

9. Išspręskite lygtį $\cos^2 x - \sin^2 x = \dfrac{1}{2}$.

10. Raskite visus lygties $\tan 2x = 1$ sprendinius intervale $\left(-\dfrac{\pi}{2};\;\dfrac{\pi}{2}\right)$.