Skaliarinė sandauga

Skaliarinė sandauga

Apibrėžimas

Dviejų vektorių $\vec{a}$ ir $\vec{b}$ skaliarinė sandauga — tai skaičius, lygus jų ilgių ir kampo tarp jų kosinuso sandaugai:

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos\varphi$$

čia $\varphi$ — kampas tarp vektorių $\vec{a}$ ir $\vec{b}$, $0° \leq \varphi \leq 180°$.

Svarbu: skaliarinės sandaugos rezultatas yra skaičius (skaliarus), o ne vektorius.

Skaliarinė sandauga koordinatėmis

Jei $\vec{a} = (x_1;\; y_1)$ ir $\vec{b} = (x_2;\; y_2)$, tai:

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$$

Pavyzdys 1. Raskite skaliarinę sandaugą $\vec{a} \cdot \vec{b}$, jei $\vec{a} = (3;\; -2)$ ir $\vec{b} = (4;\; 5)$.

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 4 + (-2) \cdot 5 = 12 - 10 = 2$$

Skaliarinės sandaugos savybės

Iš paskutinės savybės galima rasti vektoriaus ilgį:

$$|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}$$

Statmenų vektorių sąlyga

Du vektoriai $\vec{a}$ ir $\vec{b}$ yra statmeni ($\vec{a} \perp \vec{b}$) tada ir tik tada, kai jų skaliarinė sandauga lygi nuliui:

$$\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$$

Koordinatėmis: $\vec{a} \perp \vec{b} \iff x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$.

Pavyzdys 2. Ar vektoriai $\vec{a} = (6;\; 3)$ ir $\vec{b} = (-1;\; 2)$ yra statmeni?

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 6 \cdot (-1) + 3 \cdot 2 = -6 + 6 = 0$$

Kadangi $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$, vektoriai yra statmeni.

Pavyzdys 3. Raskite $t$ reikšmę, kad vektoriai $\vec{a} = (t;\; 4)$ ir $\vec{b} = (2;\; -3)$ būtų statmeni.

Sąlyga: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$, t. y. $t \cdot 2 + 4 \cdot (-3) = 0$, taigi $2t - 12 = 0$, $t = 6$.

Kampas tarp vektorių

Kampą $\varphi$ tarp vektorių $\vec{a}$ ir $\vec{b}$ randame iš formulės:

$$\cos\varphi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$$

Pavyzdys 4. Raskite kampą tarp vektorių $\vec{a} = (1;\; 0)$ ir $\vec{b} = (1;\; 1)$.

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 1$$ $$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 0^2} = 1, \quad |\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$ $$\cos\varphi = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Taigi $\varphi = 45°$.

Pavyzdys 5. Raskite kampą tarp vektorių $\vec{a} = (3;\; 4)$ ir $\vec{b} = (-4;\; 3)$.

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot (-4) + 4 \cdot 3 = -12 + 12 = 0$$

Kadangi skaliarinė sandauga lygi $0$, kampas $\varphi = 90°$.

Vektoriaus projekcija

Vektoriaus $\vec{a}$ projekcija ant vektoriaus $\vec{b}$ apskaičiuojama taip:

$$\text{pr}_{\vec{b}}\,\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$$

Pavyzdys 6. Raskite vektoriaus $\vec{a} = (5;\; 1)$ projekciją ant vektoriaus $\vec{b} = (3;\; 4)$.

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \cdot 3 + 1 \cdot 4 = 15 + 4 = 19$$ $$|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$$ $$\text{pr}_{\vec{b}}\,\vec{a} = \frac{19}{5} = 3{,}8$$

Savarankiško darbo užduotys

1. Apskaičiuokite skaliarinę sandaugą $\vec{a} \cdot \vec{b}$, jei $\vec{a} = (5;\; -3)$ ir $\vec{b} = (2;\; 7)$.

2. Ar vektoriai $\vec{a} = (4;\; 6)$ ir $\vec{b} = (3;\; -2)$ yra statmeni?

3. Raskite $k$ reikšmę, kad vektoriai $\vec{a} = (k;\; 5)$ ir $\vec{b} = (10;\; -4)$ būtų statmeni.

4. Raskite kampą tarp vektorių $\vec{a} = (1;\; \sqrt{3})$ ir $\vec{b} = (\sqrt{3};\; 1)$.

5. Raskite kampą tarp vektorių $\vec{a} = (2;\; 2)$ ir $\vec{b} = (-1;\; 1)$.

6. Apskaičiuokite $|\vec{a}|$, jei $\vec{a} = (7;\; -24)$, naudodami skaliarinę sandaugą $\vec{a} \cdot \vec{a}$.

7. Raskite vektoriaus $\vec{a} = (4;\; 3)$ projekciją ant vektoriaus $\vec{b} = (1;\; 0)$.

8. Trikampio viršūnės: $A(1;\; 1)$, $B(4;\; 1)$, $C(1;\; 5)$. Raskite kampą $\angle BAC$.

9. Duoti vektoriai $\vec{a} = (2;\; -1)$ ir $\vec{b} = (3;\; 6)$. Raskite $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})$.

10. Raskite kampą tarp vektorių $\vec{a} = (0;\; 5)$ ir $\vec{b} = (-5;\; 0)$.