Vektorių koordinatės

Vektorių koordinatės

Vektoriaus koordinatės

Plokštumoje pasirinkus koordinačių sistemą, kiekvieną vektorių galima užrašyti koordinatėmis. Jei vektoriaus $\vec{a}$ projekcija ant $Ox$ ašies yra $x$, o ant $Oy$ ašies — $y$, tai rašome:

$$\vec{a} = (x;\; y)$$

Baziniai vienetiniai vektoriai: $\vec{i} = (1;\; 0)$ ir $\vec{j} = (0;\; 1)$. Tuomet bet kurį vektorių galima išreikšti:

$$\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j}$$

Vektoriaus radimas iš dviejų taškų

Jei žinomos taškų $A(x_1;\; y_1)$ ir $B(x_2;\; y_2)$ koordinatės, tai vektorius $\vec{AB}$ randamas taip:

$$\vec{AB} = (x_2 - x_1;\; y_2 - y_1)$$

Pavyzdys 1. Raskite vektorių $\vec{AB}$, jei $A(2;\; 3)$ ir $B(7;\; 1)$.

$$\vec{AB} = (7 - 2;\; 1 - 3) = (5;\; -2)$$

Vektoriaus ilgis (modulis)

Vektoriaus $\vec{a} = (x;\; y)$ ilgis apskaičiuojamas pagal formulę:

$$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$$

Pavyzdys 2. Raskite vektoriaus $\vec{a} = (3;\; -4)$ ilgį.

$$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

Atstumas tarp dviejų taškų

Atstumas tarp taškų $A(x_1;\; y_1)$ ir $B(x_2;\; y_2)$ yra vektoriaus $\vec{AB}$ ilgis:

$$|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

Pavyzdys 3. Raskite atstumą tarp taškų $A(1;\; 2)$ ir $B(4;\; 6)$.

$$|AB| = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

Veiksmai su vektoriais koordinatėmis

Tegu $\vec{a} = (x_1;\; y_1)$ ir $\vec{b} = (x_2;\; y_2)$, o $k$ — skaičius. Tada:

Pavyzdys 4. Duoti vektoriai $\vec{a} = (2;\; 5)$ ir $\vec{b} = (-1;\; 3)$. Raskite $\vec{a} + \vec{b}$, $\vec{a} - \vec{b}$ ir $3\vec{a}$.

$$\vec{a} + \vec{b} = (2 + (-1);\; 5 + 3) = (1;\; 8)$$ $$\vec{a} - \vec{b} = (2 - (-1);\; 5 - 3) = (3;\; 2)$$ $$3\vec{a} = (3 \cdot 2;\; 3 \cdot 5) = (6;\; 15)$$

Atkarpos vidurio taško formulė

Jei $A(x_1;\; y_1)$ ir $B(x_2;\; y_2)$, tai atkarpos $AB$ vidurio taškas $M$ turi koordinates:

$$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2};\; \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$$

Pavyzdys 5. Raskite atkarpos $AB$ vidurio tašką, jei $A(2;\; 8)$ ir $B(6;\; -2)$.

$$M = \left(\frac{2 + 6}{2};\; \frac{8 + (-2)}{2}\right) = \left(\frac{8}{2};\; \frac{6}{2}\right) = (4;\; 3)$$

Kolinearūs vektoriai

Du vektoriai $\vec{a} = (x_1;\; y_1)$ ir $\vec{b} = (x_2;\; y_2)$ yra kolinearūs (lygiagretūs), jei:

$$x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0$$

Tai ekvivalentu sąlygai $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}$ (kai $x_2 \neq 0$ ir $y_2 \neq 0$).

Pavyzdys 6. Ar vektoriai $\vec{a} = (2;\; 6)$ ir $\vec{b} = (1;\; 3)$ yra kolinearūs?

Tikriname: $x_1 y_2 - x_2 y_1 = 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6 = 6 - 6 = 0$.

Taip, vektoriai yra kolinearūs.

Pavyzdys 7. Raskite $k$ reikšmę, kad vektoriai $\vec{a} = (k;\; 4)$ ir $\vec{b} = (3;\; 6)$ būtų kolinearūs.

Kolinearumo sąlyga: $k \cdot 6 - 3 \cdot 4 = 0$, taigi $6k - 12 = 0$, $k = 2$.

Savarankiško darbo užduotys

1. Raskite vektorių $\vec{AB}$, jei $A(3;\; -1)$ ir $B(-2;\; 4)$.

2. Apskaičiuokite vektoriaus $\vec{a} = (-5;\; 12)$ ilgį.

3. Raskite atstumą tarp taškų $C(-3;\; 1)$ ir $D(1;\; 4)$.

4. Duoti $\vec{a} = (4;\; -2)$ ir $\vec{b} = (-3;\; 7)$. Raskite $2\vec{a} - 3\vec{b}$.

5. Raskite atkarpos $AB$ vidurio tašką, jei $A(-4;\; 6)$ ir $B(8;\; -2)$.

6. Ar vektoriai $\vec{a} = (6;\; -9)$ ir $\vec{b} = (-2;\; 3)$ kolinearūs? Pagrįskite.

7. Raskite $m$ reikšmę, kad vektoriai $\vec{p} = (m;\; 3)$ ir $\vec{q} = (4;\; 6)$ būtų kolinearūs.

8. Trikampio viršūnės yra $A(1;\; 1)$, $B(5;\; 1)$, $C(3;\; 5)$. Raskite vektoriaus $\vec{AB} + \vec{AC}$ koordinates ir ilgį.

9. Raskite tašką $B$, jei $A(2;\; -3)$, o atkarpos $AB$ vidurio taškas $M(5;\; 1)$.

10. Duoti taškai $A(0;\; 0)$, $B(4;\; 2)$, $C(6;\; 6)$. Patikrinkite, ar taškai $A$, $B$, $C$ priklauso tai pačiai tiesei.