Vektorių pagrindai

Vektorių pagrindai

Vektoriaus sąvoka

Vektorius — tai kryptinis atkarpa, turinti pradžią ir galą. Jei vektoriaus pradžia yra taškas $A$, o galas — taškas $B$, tai vektorių žymime $\vec{AB}$. Vektorių taip pat galima žymėti viena mažąja raide su rodykle viršuje: $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$.

Kiekvienas vektorius turi dvi savybes:

• Kryptį — nurodo, kuria linkme nukreiptas vektorius.
• Ilgį (modulį) — atstumas nuo pradžios iki galo, žymimas $|\vec{a}|$ arba $|\vec{AB}|$.

Nulinis vektorius

Jei vektoriaus pradžia ir galas sutampa, gauname nulinį vektorių $\vec{0}$. Jo ilgis lygus nuliui: $|\vec{0}| = 0$. Nulinis vektorius neturi apibrėžtos krypties.

Lygūs ir priešingi vektoriai

Du vektoriai $\vec{a}$ ir $\vec{b}$ vadinami lygiais ($\vec{a} = \vec{b}$), jei jie turi tą patį ilgį ir tą pačią kryptį. Lygūs vektoriai gali būti atidėti iš skirtingų taškų.

Vektorius $\vec{b}$ vadinamas priešingu vektoriui $\vec{a}$ (žymime $\vec{b} = -\vec{a}$), jei jie turi tą patį ilgį, bet priešingas kryptis. Pavyzdžiui, $\vec{BA} = -\vec{AB}$.

Vektorių sudėtis

Trikampio taisyklė

Norint sudėti vektorius $\vec{a}$ ir $\vec{b}$ trikampio taisykle:

1. Atidedame vektorių $\vec{a}$ iš bet kurio taško $A$ — gauname tašką $B$.
2. Iš taško $B$ atidedame vektorių $\vec{b}$ — gauname tašką $C$.
3. Vektorius $\vec{AC}$ yra suma: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{AC}$.

Lygiagretainio taisyklė

Norint sudėti vektorius $\vec{a}$ ir $\vec{b}$ lygiagretainio taisykle:

1. Iš to paties taško $A$ atidedame abu vektorius $\vec{a}$ ir $\vec{b}$.
2. Nubrėžiame lygiagretainį.
3. Suma $\vec{a} + \vec{b}$ yra lygiagretainio įstrižainė, einanti iš taško $A$.

Sudėties savybės

$$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a} \quad \text{(komutatyvumas)}$$ $$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c}) \quad \text{(asociatyvumas)}$$ $$\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$$

Vektorių atimtis

Vektorių skirtumas apibrėžiamas taip:

$$\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$$

Tai reiškia, kad iš vektoriaus $\vec{a}$ atimame vektorių $\vec{b}$ pridėdami jam priešingą vektorių $-\vec{b}$.

Jei abu vektoriai atidėti iš to paties taško, tai jų skirtumas yra vektorius, nukreiptas nuo $\vec{b}$ galo į $\vec{a}$ galą.

Vektoriaus daugyba iš skaičiaus

Vektorių $\vec{a}$ padauginus iš skaičiaus $k$, gaunamas vektorius $k\vec{a}$:

• Ilgis: $|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$.
• Kryptis: jei $k > 0$, kryptis ta pati; jei $k < 0$, kryptis priešinga.

$$k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$$ $$(k + m)\vec{a} = k\vec{a} + m\vec{a}$$

Pavyzdžiai

Pavyzdys 1. Duotas trikampis $ABC$. Išreikškite vektorių $\vec{AC}$ per $\vec{AB}$ ir $\vec{BC}$.

Pagal trikampio taisyklę: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$.

Pavyzdys 2. Duota, kad $\vec{a}$ ir $\vec{b}$ — nelygiagrečiai vektoriai. Suprastinkite: $3\vec{a} + 2\vec{b} - \vec{a} + 5\vec{b}$.

Sugrupuojame:

$$3\vec{a} - \vec{a} + 2\vec{b} + 5\vec{b} = 2\vec{a} + 7\vec{b}$$

Pavyzdys 3. Trikampio $ABC$ kraštinių vidurio taškai yra $M$, $N$, $P$. Taškas $M$ yra $AB$ vidurio taškas. Išreikškite $\vec{AM}$ per $\vec{AB}$.

Kadangi $M$ yra $AB$ vidurio taškas:

$$\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AB}$$

Pavyzdys 4. Duota, kad $|\vec{a}| = 5$. Raskite $|3\vec{a}|$ ir $|-2\vec{a}|$.

$$|3\vec{a}| = |3| \cdot |\vec{a}| = 3 \cdot 5 = 15$$ $$|-2\vec{a}| = |-2| \cdot |\vec{a}| = 2 \cdot 5 = 10$$

Pavyzdys 5. Lygiagretainio $ABCD$ įstrižainių susikirtimo taškas yra $O$. Išreikškite $\vec{AO}$ per $\vec{AB}$ ir $\vec{AD}$.

Kadangi $O$ yra įstrižainės $AC$ vidurio taškas ir $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$:

$$\vec{AO} = \frac{1}{2}\vec{AC} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AD})$$

Savarankiško darbo užduotys

1. Trikampyje $ABC$ taškas $M$ yra kraštinės $BC$ vidurio taškas. Išreikškite $\vec{AM}$ per $\vec{AB}$ ir $\vec{AC}$.

2. Suprastinkite: $5\vec{a} - 3\vec{b} + 2\vec{a} + 7\vec{b}$.

3. Duota, kad $|\vec{b}| = 8$. Raskite $|4\vec{b}|$ ir $\left|-\frac{1}{2}\vec{b}\right|$.

4. Lygiagretainyje $ABCD$ išreikškite $\vec{BD}$ per $\vec{AB}$ ir $\vec{AD}$.

5. Trikampyje $ABC$ taškas $P$ dalija kraštinę $AB$ santykiu $1:2$ (nuo $A$). Išreikškite $\vec{AP}$ per $\vec{AB}$.

6. Suprastinkite: $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD}$.

7. Duoti vektoriai $\vec{a}$ ir $\vec{b}$, kurių ilgiai $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 4$, o kampas tarp jų $90°$. Raskite $|\vec{a} + \vec{b}|$.

8. Ar tiesa, kad $\vec{AB} + \vec{BA} = \vec{0}$? Pagrįskite.

9. Stačiakampio $ABCD$ kraštinės: $AB = 6$, $BC = 8$. Raskite $|\vec{AC}|$.

10. Trikampyje $ABC$ žinoma, kad $\vec{AB} = \vec{a}$ ir $\vec{AC} = \vec{b}$. Išreikškite vektorių $\vec{BC}$ per $\vec{a}$ ir $\vec{b}$.