Kubas ir stačiakampis gretasienis

Stačiakampis gretasienis

Stačiakampis gretasienis (dar vadinamas stačiakampe prizme) – tai erdvinis kūnas, kurio visos sienos yra stačiakampiai. Jį galima įsivaizduoti kaip „dėžę".

Elementai:

Turi 6 sienas (stačiakampius)
Turi 12 briaunų
Turi 8 viršūnes
Trys matmenys: ilgis $a$ , plotis $b$ , aukštis $c$

Gretasienio tūris

$V = a \cdot b \cdot c$

Pavyzdys 1. Gretasienio matmenys: 5 cm, 4 cm, 3 cm. Raskite tūrį.

$V = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 \text{ cm}^3$

Pavyzdys 2. Akvariumas yra 80 cm ilgio, 40 cm pločio ir 50 cm aukščio. Kiek litrų vandens jis talpina?

$V = 80 \cdot 40 \cdot 50 = 160\,000 \text{ cm}^3 = 160 \text{ l}$

(Prisiminkite: $1 \text{ l} = 1000 \text{ cm}^3$ )

Gretasienio paviršiaus plotas

Paviršiaus plotas – tai visų šešių sienų plotų suma. Gretasienis turi tris poras vienodų sienų:

$S = 2(ab + bc + ac)$

Pavyzdys 3. Gretasienio matmenys: 6 cm, 4 cm, 3 cm. Raskite paviršiaus plotą.

$S = 2(6 \cdot 4 + 4 \cdot 3 + 6 \cdot 3) = 2(24 + 12 + 18) = 2 \cdot 54 = 108 \text{ cm}^2$

Pavyzdys 4. Kambarys yra 5 m ilgio, 4 m pločio ir 2,5 m aukščio. Koks sienų ir lubų plotas (be grindų)?

Sienų plotas: $2(5 \cdot 2{,}5 + 4 \cdot 2{,}5) = 2(12{,}5 + 10) = 2 \cdot 22{,}5 = 45 \text{ m}^2$

Lubų plotas: $5 \cdot 4 = 20 \text{ m}^2$

Bendras plotas: $45 + 20 = 65 \text{ m}^2$

Erdvinė įstrižainė

Erdvinė įstrižainė – tai atkarpa, jungianti du priešingus gretasienio viršūnes (per vidų):

$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

Pavyzdys 5. Gretasienio matmenys: 3 cm, 4 cm, 12 cm. Raskite erdvinę įstrižainę.

$d = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ cm}$

Kubas – specialus atvejis

Kubas – tai stačiakampis gretasienis, kurio visos briaunos lygios ( $a = b = c$ ).

Elementai:

6 vienodos kvadratinės sienos
12 vienodų briaunų
8 viršūnės

Kubo tūris

$V = a^3$

Pavyzdys 6. Kubo briauna 5 cm. Raskite tūrį.

$V = 5^3 = 125 \text{ cm}^3$

Kubo paviršiaus plotas

$S = 6a^2$

Pavyzdys 7. Kubo briauna 4 cm. Raskite paviršiaus plotą.

$S = 6 \cdot 4^2 = 6 \cdot 16 = 96 \text{ cm}^2$

Kubo erdvinė įstrižainė

$d = a\sqrt{3}$

Pavyzdys 8. Kubo briauna 6 cm. Raskite erdvinę įstrižainę.

$d = 6\sqrt{3} \approx 6 \cdot 1{,}732 = 10{,}39 \text{ cm}$

Kubo ir gretasienio tinklas (išklotinė)

Kubo tinklas – tai kubas, „išlankstytas" į plokštumą. Kubas turi 11 skirtingų tinklų. Dažniausiai naudojamas kryžiaus formos tinklas: keturi kvadratai eilėje ir po vieną iš šonų.

Gretasienio tinklas – panašus principas: šeši stačiakampiai, išdėstyti taip, kad sulankstius gautume gretasienį.

Formulių santrauka

Dydis	Gretasienis	Kubas
Tūris	$V = abc$	$V = a^3$
Paviršiaus plotas	$S = 2(ab+bc+ac)$	$S = 6a^2$
Erdvinė įstrižainė	$d = \sqrt{a^2+b^2+c^2}$	$d = a\sqrt{3}$

Savarankiško darbo užduotys

Stačiakampio gretasienio matmenys yra 8 cm, 5 cm ir 3 cm. Raskite tūrį.
Kubo briauna yra 7 cm. Raskite tūrį ir paviršiaus plotą.
Gretasienio matmenys: 10 cm, 6 cm, 4 cm. Raskite paviršiaus plotą.
Gretasienio matmenys: 3 cm, 4 cm, 12 cm. Raskite erdvinę įstrižainę.
Kubo tūris yra 64 cm³. Raskite briauna ir paviršiaus plotą.
Sandėlio grindų plotas 20 m², aukštis 3 m. Koks sandėlio tūris?
Kubo paviršiaus plotas yra 150 cm². Raskite briauną ir tūrį.
Baseinas yra 25 m ilgio, 10 m pločio ir 2 m gylio. Kiek litrų vandens jis talpina?
Gretasienio tūris 240 cm³. Jo matmenys: 8 cm, 6 cm ir $h$ cm. Raskite $h$ .
Siuntinio dėžė yra 50 cm ilgio, 30 cm pločio ir 20 cm aukščio. Apskaičiuokite dėžės tūrį ir kiek kvadratinių centimetrų kartono reikia jai pagaminti.