Cilindras ir kūgis

Cilindras

Cilindrą galima įsivaizduoti kaip „skardinę" – du vienodi apskritimai (pagrindai) ir šoninė sienelė.

Elementai:

Du apskritimo formos pagrindai (spindulys $r$ )
Aukštinė $h$ – atstumas tarp pagrindų
Šoninė sienelė – stačiakampis, „apvyniotas" aplink cilindrą

Cilindro tūris

$V = \pi r^2 h$

Cilindro tūris – tai pagrindo plotas ( $\pi r^2$ ), padaugintas iš aukštinės ( $h$ ).

Pavyzdys 1. Cilindro spindulys 5 cm, aukštinė 10 cm. Raskite tūrį.

$V = \pi \cdot 5^2 \cdot 10 = \pi \cdot 25 \cdot 10 = 250\pi \approx 785 \text{ cm}^3$

Pavyzdys 2. Vandens bokšto talpa yra cilindrinė: skersmuo 4 m, aukštis 6 m. Kiek litrų vandens telpa?

Spindulys: $r = 4/2 = 2$ m.

$V = \pi \cdot 2^2 \cdot 6 = 24\pi \approx 75{,}4 \text{ m}^3 = 75\,400 \text{ l}$

Cilindro šoninis paviršiaus plotas

Jei cilindrą „išvyniotume", šoninė sienelė būtų stačiakampis, kurio viena kraštinė – apskritimo ilgis $2\pi r$ , kita – aukštinė $h$ :

$S_{\text{\v{s}on}} = 2\pi r h$

Pavyzdys 3. Cilindro spindulys 3 cm, aukštinė 8 cm. Raskite šoninį paviršiaus plotą.

$S_{\text{\v{s}on}} = 2\pi \cdot 3 \cdot 8 = 48\pi \approx 150{,}8 \text{ cm}^2$

Pilnas cilindro paviršiaus plotas

Pilnas paviršius = šoninis paviršius + du pagrindai:

$S = 2\pi r h + 2\pi r^2 = 2\pi r(h + r)$

Pavyzdys 4. Cilindro spindulys 4 cm, aukštinė 10 cm. Raskite pilną paviršiaus plotą.

$S = 2\pi \cdot 4 \cdot (10 + 4) = 2\pi \cdot 4 \cdot 14 = 112\pi \approx 351{,}7 \text{ cm}^2$

Kūgis

Kūgį galima įsivaizduoti kaip „ledų vaflį" arba „smailią kepurę" – apskritimo formos pagrindas ir viršūnė viršuje.

Elementai:

Apskritimo formos pagrindas (spindulys $r$ )
Aukštinė $h$ – atstumas nuo pagrindo centro iki viršūnės
Sudaromoji (šoninė briauna) $l$ – atstumas nuo pagrindo krašto iki viršūnės

Sudaromosios ilgis

Sudaromoji, aukštinė ir spindulys sudaro stačiąjį trikampį:

$l = \sqrt{r^2 + h^2}$

Kūgio tūris

$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$

Kūgio tūris – tai trečdalis cilindro tūrio su tuo pačiu pagrindu ir aukštine.

Pavyzdys 5. Kūgio spindulys 6 cm, aukštinė 8 cm. Raskite tūrį.

$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 6^2 \cdot 8 = \frac{1}{3}\pi \cdot 288 = 96\pi \approx 301{,}4 \text{ cm}^3$

Pavyzdys 6. Smėlio krūva yra kūgio formos: skersmuo 3 m, aukštis 1,5 m. Koks smėlio tūris?

Spindulys: $r = 3/2 = 1{,}5$ m.

$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 1{,}5^2 \cdot 1{,}5 = \frac{1}{3}\pi \cdot 3{,}375 = 1{,}125\pi \approx 3{,}53 \text{ m}^3$

Kūgio šoninis paviršiaus plotas

$S_{\text{\v{s}on}} = \pi r l$

kur $l$ – sudaromoji.

Pavyzdys 7. Kūgio spindulys 3 cm, sudaromoji 5 cm. Raskite šoninį plotą.

$S_{\text{\v{s}on}} = \pi \cdot 3 \cdot 5 = 15\pi \approx 47{,}1 \text{ cm}^2$

Pilnas kūgio paviršiaus plotas

$S = \pi r l + \pi r^2 = \pi r(l + r)$

Pavyzdys 8. Kūgio spindulys 4 cm, aukštinė 3 cm. Raskite pilną paviršiaus plotą.

Žingsnis 1: Randame sudaromąją:

$l = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}$

Žingsnis 2: Skaičiuojame paviršių:

$S = \pi \cdot 4 \cdot (5 + 4) = 36\pi \approx 113{,}1 \text{ cm}^2$

Nupjautinis kūgis

Nupjautinis kūgis – tai kūgio dalis, gauta nupjovus viršūnę plokštuma, lygiagračia pagrindui. Jis turi du apskritimus: didesnį (spindulys $R$ ) ir mažesnį (spindulys $r$ ).

Tūris:

$V = \frac{1}{3}\pi h(R^2 + Rr + r^2)$

B lygio egzamine ši formulė retai pasitaiko, bet naudinga ją žinoti.

Formulių santrauka

Dydis	Cilindras	Kūgis
Tūris	$V = \pi r^2 h$	$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$
Šoninis plotas	$S_{\text{\v{s}on}} = 2\pi rh$	$S_{\text{\v{s}on}} = \pi rl$
Pilnas plotas	$S = 2\pi r(h+r)$	$S = \pi r(l+r)$
Sudaromoji	—	$l = \sqrt{r^2+h^2}$

Svarbu: Kūgio tūris = $\frac{1}{3}$ cilindro tūrio (su tuo pačiu pagrindu ir aukštine).

Savarankiško darbo užduotys

Cilindro spindulys 6 cm, aukštinė 10 cm. Raskite tūrį.
Cilindro spindulys 5 cm, aukštinė 12 cm. Raskite pilną paviršiaus plotą.
Skardinė yra cilindro formos: skersmuo 8 cm, aukštis 12 cm. Kiek cm² skardos reikia jai pagaminti (pilnas paviršius)?
Kūgio spindulys 3 cm, aukštinė 4 cm. Raskite tūrį ir sudaromąją.
Kūgio spindulys 5 cm, sudaromoji 13 cm. Raskite aukštinę ir tūrį.
Raskite kūgio pilną paviršiaus plotą, kai $r = 7$ cm, $l = 10$ cm.
Cilindrinis vandens bokštas: skersmuo 6 m, aukštis 8 m. Kiek kubinių metrų vandens jis talpina?
Ledų vafelis yra kūgio formos: skersmuo 6 cm, aukštinė 12 cm. Koks jo tūris?
Cilindre telpa 500π cm³ vandens. Jo spindulys 5 cm. Koks vandens aukštis?
Kūgio ir cilindro spinduliai ir aukštinės vienodi: $r = 4$ cm, $h = 9$ cm. Kiek kartų cilindro tūris didesnis už kūgio tūrį?